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Ordnung (algebraische Zahlentheorie)

In der algebraischen Zahlentheorie ist eine Ordnung des Zahlkörpers K ein Unterring von K, der (via Multiplikation) als Endomorphismenring auf bestimmten Untergruppen von K, den Gittern operiert, zugleich ist die Ordnung selbst ein spezielles Gitter. Die Begriffe Ordnung und Gitter spielen eine Rolle bei der Untersuchung von Teilbarkeitsfragen in Zahlkörpern und bei der Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Arithmetik auf Zahlkörper. Diese Ideen und Begriffsbildungen gehen auf Richard Dedekind zurück.[1] Die spezielleren Definitionen im ersten Teil des Artikels richten sich nach Leutbecher (1996). Danach wird eine Verallgemeinerung des Begriffes Ordnung nach Silverman (1986) beschrieben. Zur Unterscheidung von allgemeineren und abweichendenden Begriffen werden die spezielleren Begriffe auch als Dedekind-Gitter und Dedekind-Ordnung bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Eigenschaften

Zusammenhang mit geometrischen Gittern

Die Wortwahl Gitter deutet einen Zusammenhang mit Gittern in euklidischen Räumen an, der tatsächlich besteht: Der Zahlkörper K ist ein n-dimensionaler Vektorraum über . Dieser Vektorraum kann in einen n-dimensionalen reellen Vektorraum eingebettet werden. In diesem Vektorraum sind die Dedekind-Gitter spezielle geometrische Gitter. Dedekind-Gitter sind nie „flach“ (d. h. in einem echten Unterraum enthalten), da sie stets eine -Basis von K enthalten müssen und damit im reellen Vektorraum eine -Basis.

Die anschauliche Vorstellung eines Gitters im n-dimensionalen Raum kann für das Verständnis nützlich sein. Zum Beispiel ist für eine ganze Zahl k>1 das Dedekind-Gitter k·M ein Gitter, das „grobmaschiger“ als das Dedekind-Gitter M ist. Die Gitter M und k·M lassen sich durch zentrische Streckungen aufeinander abbilden.

Bei Beweisen, die auf die beschriebene Einbettung Bezug nehmen, ist Vorsicht geboten. Wird zum Beispiel in einem Zahlkörper K, der die algebraische Zahl enthält, diese als Vektor mit der reellen Zahl skalar multipliziert, dann ist das Ergebnis nicht „2“. Um die verschiedenen Multiplikationen zu unterscheiden, muss man diese Einbettung formal korrekt als Tensorprodukt

einführen (vgl. dazu den nächsten Abschnitt).

Verallgemeinerung

Ist allgemeiner A eine endlichdimensionale, nicht notwendigerweise kommutative -Algebra, so nennt man einen Unterring eine Ordnung in A, wenn

ein Isomorphismus ist.

Dieser Begriff verallgemeinert den oben definierten Begriff der Ordnung in einem Zahlkörper. Beispiele für Ordnungen in Quaternionenalgebren über sind Endomorphismenringe supersingulärer elliptischer Kurven.

Quellen

  1. Richard Dedekind:Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet mit Zusätzen versehen. 4. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1894

Literatur