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Kurve (algebraische Geometrie)

Die ersten betrachteten Objekte der algebraischen Geometrie waren ebene algebraische Kurven, also Teilmengen der Ebene, die durch eine Polynomgleichung beschrieben sind, wie beispielsweise die Kreislinie

,

oder die Normalparabel

.

Diese Objekte sind in einem gewissen Sinn eindimensional; anschaulich heißt das, dass man sich auf ihnen nur in einer Richtung (und nicht quer dazu) bewegen kann. Ihre Ausbreitung in der Ebene ist dafür irrelevant.

Schon seit dem frühen 19. Jahrhundert hat man auch komplexe Lösungen der Kurvengleichung betrachtet und die Gesamtheit dieser Lösungen wieder algebraische Kurve genannt. Eine so erklärte algebraische Kurve ist als reelles Gebilde zweidimensional. Diese Erweiterung war unerlässlich für die Entwicklung der algebraischen Geometrie.

Diese wurde im 19. Jahrhundert entscheidend gefördert durch August Ferdinand Möbius und Julius Plücker, unter anderem durch Verwendung der homogenen Koordinaten, und später durch Bernhard Riemann. Auf die dann folgende Entwicklung wird in diesem einführenden Text nicht eingegangen.

Allgemein sei P(x,y) ein Polynom n-ten Grades in x und y. Die Menge seiner Nullstellen ist dann eine algebraische Kurve n-ter Ordnung. Sie wird "in der Regel" von einer Geraden in n Punkten geschnitten. Um die Ausnahmefälle zu behandeln, hat man den Begriff des "mehrfachen Schnittpunkts" entwickelt.

Wenn P(x,y) in zwei Faktoren (von mindestens erstem Grade) zerlegbar ist, zerfällt auch die Kurve in zwei Teilkurven (die jedoch evt. gemeinsame Punkte haben). Wenn P(x,y) unzerlegbar (irreduzibel) ist, heißt auch die Kurve irreduzibel. Die irreduziblen Kurven zweiter Ordnung sind die Kegelschnitte. Die irreduziblen Kurven dritter Ordnung wurden von Isaak Newton mit Hilfe von projektiven Transformationen auf einfache Normalformen zurückgeführt. Analog betrachtet man projektiv äquivalente Kurven nicht als wesentlich verschieden.

Als ein wichtiges Problem zeigte sich: Wieviele Tangenten lassen sich "in der Regel" von einem nicht auf der Kurve liegenden Punkt aus an eine Kurve n-ter Ordnung legen? Diese Anzahl heißt die Klasse der Kurve. Für eine solche Kurve ohne singuläre Punkte (wie etwa Doppelpunkte oder Spitzen) ist diese Klasse gleich n(n-1)/2. Jeder Doppelpunkt verkleinert die Klasse um 2 und jede Spitze um 3. Das ist eine Hauptaussage der Plückerschen Formeln, die sich außerdem noch mit der Anzahl der Wendepunkte und Doppeltangenten befassen. Warnung: Alles dies gilt im Komplexen, meist nicht im Reellen!

Beispiel: Eine singularitätenfreie Kurve dritter Ordnung ist von 6. Klasse; wenn sie einen Doppelpunkt hat, von vierter, und wenn sie eine Spitze hat, von dritter Klasse.

Eine Kurve kann statt durch ihre Punkte auch durch ihre Tangenten beschrieben werden, und diese lassen sich durch homogene Linienkoordinaten darstellen. Wenn man die Gleichung einer algebraischen Kurve in Punktkoordinaten als Gleichung einer anderen Kurve in Linienkoordinaten auffasst, so entsteht die duale Kurve. Die duale Kurve der dualen Kurve ist wieder die ursprüngliche Kurve.

Dual zueinander sind folgende Begriffe: Kurvenpunkt und Kurventangente. Doppelpunkt und Doppeltangente. Wendepunkt und Spitze. Ordnung und Klasse.

Die moderne Definition lautet: Eine (algebraische) Kurve ist ein eindimensionales separiertes algebraisches Schema über einem Körper. Häufig werden auch noch weitere Voraussetzungen wie geometrische Reduziertheit oder Irreduzibilität in die Definition mit aufgenommen.

Beispiele

Literatur