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Leeres Produkt

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Das leere Produkt bezeichnet in der Mathematik einen Spezialfall des Produktes mit endlich vielen Faktoren und zwar mit keinem, allgemeiner gesprochen ist die Indexmenge des leeren Produktes die leere Menge. Es ist deutlich zu unterscheiden von dem Produkt oder unsinnigen Formulierungen, wie z. B. mit nur einem Faktor. In kombinatorischen, abzählenden Betrachtungen ist es normalerweise miteinzubeziehen, da es genau eine Möglichkeit gibt, Nichts zu multiplizieren., weshalb es auch gerechtfertigt ist, von dem leeren Produkt zu sprechen.

In anderen Bereichen wie der Gruppen-, Ring- oder Körpertheorie, die die Multiplikation als grundlegende, innere Verknüpfung betrachten, ist jede Definition mit weniger als zwei Faktoren zunächst nicht sinnvoll. Trotzdem taucht das leere Produkt implizit in mehreren Zusammenhängen auf, z. B. bei Potenzen und der Fakultät und ist dort gelegentlich der Grund für Verständnisprobleme. Auch die gängige Wertzuweisung auf Eins ist nicht immer intuitiv klar.

Inhaltsverzeichnis

Schreibweisen

Obwohl es verbreitet ist, das leere Produkt mit der leeren Menge als Faktor zu schreiben , lautet die korrekte Darstellung , da die eben die Indexmenge leer ist.

Zusammenhang zu Potenzen und der leeren Summe

Analog bezeichnet man die Addition von 0 Summanden als die leere Summe und gibt ihr den Wert 0. Dies ist anschaulich klar: Man erhält 0, wenn man nichts addiert.

Für jedes endliche Produkt mit N Faktoren und den Logarithmus zu einer beliebigen Basis gilt nun:

, da logxy = logx + logy

Wird N = 0 gesetzt, erhält man links das leere Produkt und rechts im Exponenten die leere Summe:

Da die Wertzuweisung der leeren Summe auf Null sehr plausibel ist, muss das leere Produkt im Sinne der Widerspruchsfreiheit den Wert von b0 erhalten, der zumindest auch für alle b > 0 konstant sein muss. Auch dies widerspricht nicht dem anschaulichen Verständnis, da es bedeutet, eine positive Zahl b null-mal mit sich selbst zu multiplizieren.

Problematiken der Wertzuweisung

Es wird allgemein nicht bezweifelt, dass für reelles b > 0 die Gleichung b0 = 1 richtig ist. Damit werden die reelwertigen Exponentialfunktionen stetig und analytisch im Punkt 0 fortgesetzt. In den komplexen Zahlen ist es etwas komplizierter, da 0 dort ein Verzweigungspunkt ist, für reelles b bleibt es auch dort richtig. Somit spricht nichts gegen

Ein Schönheitsfehler wird deutlich, wenn man versucht, dies auch auf b = 0 zu verallgemeinern. Die Potenz 00 = 1 zu setzen, ist immer noch mit den gängigsten Definitionen vereinbar, da aber für alle gilt: 0a = 0, sorgt dies bei der rellen Funktion f(a) = 0a für eine Unstetigkeitsstelle bei a = 0, was der Anschauung hochgradig zuwider läuft. Siehe auch „Null hoch null“.

Leeres kartesisches Produkt und leere Funktion

Das kartesische Produkt zweier endlichen Mengen ist defininiert als die Vereinigungsmenge aller entsprechenden Tupel: . Allgemeiner kann man dies für jede beliebige endliche Indexmenge I wie folgt definieren:

Da die leere Vereinigung, (ebenso wie die Vereinigung über endliche Mengen) wiederum die leere Menge ergibt, folgt mit

Damit enthält das leere kartesische Produkt genau ein Element, die leere Funktion , welche die leere Menge wieder auf die leere Menge abbildet. Die analoge Tupel-Schreibweise lautet .

Mit Hilfe des kartesischen Produkts erhält man eine zufriedenstellende Deutung in der Wertzuweisung von 00: Interpetriert man die Potenz ab mengentheoretisch, dabei sei also a = | A | ,b = | B | , so gibt ab die Anzahl der Funktionen . Nur die leere Menge hat Kardinalität 0, somit folgt:

Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auf nichts abzubilden. Andererseits gilt für jedes :

denn es gibt tatsächlich keine entsprechende Funktion: Jedem der n Definitionswerte müsste ein Element des Bildbereichs zugeordnet werden, was aber unmöglich ist, da die leere Menge eben kein Element enthält. Nur wenn der Definitionsbereich auch leer, lässt sich genau eine solche Funktion finden.

Weitere Zusammenhänge