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Fläche zweiter Ordnung

Als Flächen zweiter Ordnung des Raumes bezeichnet man Flächen, welche durch ein quadratisches Polynom beschrieben werden. Diese Punktmengen erfüllen in Koordinatenform folgende Gleichung:

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + a1x + a2y + a3z + β = 0

In Matrizenschreibweise:

mit

Transformation auf Normalform:

Das singuläre Gebilde S einer Fläche zweiter Ordnung ist die Menge aller , für die gilt:

Verschiebung des Koordinatensystems um einen Vektor aus S führt zum Verschwinden der linearen Glieder in der Gleichung der Fläche zweiter Ordnung. Die Gleichung geht über in:

b11x'2 + b22y'2 + b33z'2 + 2b12x'y' + 2b13x'z' + 2b23y'z' + b = 0

x',y',z' sind die Koordinaten des neuen Koordinatensystems.

Der Ursprung des neuen Koordinatensystems ist der Symmetriepunkt der Fläche 2. Ordnung.

Hauptachsentransformation in ein Koordinatensystem mit festem Ursprung und Koordinatenachsen in Richtung der Eigenvektoren bringt die Gleichung der Fläche zweiter Ordnung in die Normalform:

λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + d = 0

Klassifizierung der Flächen zweiter Ordnung

λ1 λ2 λ3 d Typ
>0 >0 >0 <0 Ellipsoid
>0 >0 >0 >0 nullteilige Fläche 2. Ordnung (d. h. die leere Punktmenge)
>0 >0 >0 =0 entartetes Ellipsoid (Nullpunkt) Kegel mit nichtreellen Erzeugenden
>0 >0 <0 <0 einschaliges Hyperboloid
>0 >0 <0 >0 zweischaliges Hyperboloid
>0 >0 <0 =0 elliptischer Doppelkegel (Kegelachse: x3)
>0 >0 =0 >0 Zylinder mit nichtreellen Erzeugenden
>0 >0 =0 <0 elliptischer Zylinder
>0 >0 =0 =0 Paar einander (in einer reellen Geraden) schneidender nichtreeller Ebenen
>0 <0 =0 0 Hyperbolischer Zylinder
>0 <0 =0 =0 Paar sich schneidender Ebenen (beide zur z-Achse parallel)
>0 =0 =0 <0 2 parallele Ebenen (zur x-Achse parallel)
>0 =0 =0 >0 2 nichtreelle parallele Ebenen
>0 =0 =0 =0 Koordinatenebene (y,z-Ebene)