(DF)-Räume sind eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Klasse spezieller lokalkonvexer Räume, die eine wichtige Rolle in der Dualitätstheorie von Frécheträumen spielt. Dualräume von Frécheträumen sind (DF)-Räume und Dualräume von (DF)-Räumen sind wieder Frécheträume. Dadurch erklärt sich die 1954 von Grothendieck eingeführte Bezeichnung (DF).
Die Definition der (DF)-Räume wird durch die folgenden zwei Eigenschaften von Dualräumen metrisierbarer lokalkonvexer Räume motiviert. Ist der Dualraum eines metrisierbaren lokalkonvexen Raumes F, so gilt:
Es gibt eine Folge (Bn)nbeschränkter Mengen in E, so dass es zu jeder beschränkten Menge ein und ein λ > 0 gibt mit .
Ist (Vn)n eine Folge absolutkonvexer MengenNullumgebungen in E und gibt es zu jeder beschränkten Menge ein λ > 0 gibt mit , so ist eine Nullumgebung in E.
Daher definiert man
Ein (DF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum E, der die oben genannten Eigenschaften (1) und (2) hat.
Beispiele
Die Definition ist so angelegt, dass Dualräume metrisierbarer lokalkonvexer Vektorräume (DF)-Räume sind, sogar vollständige (DF)-Räume.
Jeder quasitonnelierte Raum, der die erste Eigenschaft obiger Definition erfüllt, ist ein (DF)-Raum. Insbesondere sind alle normierten Räume (DF)-Räume. Es gibt daher (DF)-Räume, die nicht vollständig sind, und es gibt vollständige (DF)-Räume, die kein Dualraum sind.
Der Raum aller reellen Folgen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz ist kein (DF)-Raum.
Vererbungseigenschaften
Vervollständigungen von (DF)-Räumen sind wieder (DF)-Räume.
Ist ein abgeschlossenerUnterraum im (DF)-Raum E, so ist der FaktorraumE / F wieder ein (DF)-Raum. Die (DF)-Eigenschaft vererbt sich im Allgemeinen nicht auf (abgeschlossene) Unterräume.
Ist (En)n eine Folge von (DF)-Räumen, so ist die direkte Summe mit der Finaltopologie wieder ein (DF)-Raum. Die (DF)-Eigenschaft vererbt sich im Allgemeinen nicht auf Produkträume.
Das projektive Tensorprodukt zweier (DF)-Räume ist wieder ein (DF)-Raum.
Weitere Eigenschaften
Der starke Dualraum eines (DF)-Raums ist ein Fréchetraum. Daraus ergibt sich nun leicht, dass der Bidualraum eines Fréchetraums wieder ein Fréchetraum ist. Eine weitere wichtige Folgerung ist, dass ein Fréchetraum genau dann reflexiv ist, wenn sein starker Dualraum reflexiv ist.
Die Topologie eines (DF)-Raums E lässt sich im folgenden Sinne lokalisieren: Eine absolutkonvexe Menge ist genau dann eine Nullumgebung, wenn für jede absolutkonvexe, beschränkte Menge der Durchschnitt eine Umgebung von 0 in der Teilraumtopologie auf B ist.
Literatur
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992
H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971
A. Grothendieck: Sur les espaces (F) et (DF). Summa Brasil. Math. 3, 57–123 (1954)