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Satz von Stokes

Dieser Artikel bezieht sich auf den Stokesschen Integralsatz. Weitere Gesetzmäßigkeiten, Regeln und Sätze, die der Physiker und Mathematiker Sir George Gabriel Stokes aufgestellt hat, unter Stokessche Gesetze.

Der Satz von Stokes oder Stokesscher Integralsatz (nach Sir George Gabriel Stokes), häufig auch allgemeiner Satz von Stokes genannt, ist ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie. In seiner allgemeinsten Form handelt es sich um einen sehr tiefliegenden Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. Es geht darum, n-dimensionale Volumenintegrale über das Innere in Randintegrale über die Oberfläche des Volumenstücks umzuwandeln. Häufig werden speziellere Varianten des allgemeinen Satzes angegeben, aus denen das allgemeine Prinzip mehr oder minder gut ersichtlich ist; die beiden wichtigsten Spezialfälle, der gaußsche Integralsatz und der spezielle stokessche Integralsatz (siehe unten) entstammen der Vektoranalysis. In der Physik erlaubt der Satz von Stokes elegante Scheibweisen physikalischer Zusammenhänge, zum Beispiel bei den integrierten Formen der Maxwellschen Gleichungen.

Inhaltsverzeichnis

Formulierung des allgemeinen Satzes

Sei M eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand mit induzierter Orientierung. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre), gegeben.

Sei ferner ω eine sogenannte alternierende Differentialform vom Grad n-1, die als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.

Dann gilt

wobei d die Cartan-Ableitung bezeichnet (konkret:  ,  falls   gilt, mit (n-1)-dimensionalen Basisformen ωi. Den allgemeinsten Fall bekommt man, wenn ωi eines der n von Null verschiedenen Differential-Produkte ist, die man erhält, wenn man in dem Ausdruck eines der Elementardifferentiale dxν streicht, und zwar das mit ν = i. Ferner ist natürlich , für i, j, k, ν = 1,...,n.

Zugrunde liegendes topologisches Prinzip

Hinter dem Satz steckt ein allgemeines topologisches Prinzip, dass in seiner einfachsten Form besagt, dass sich bei „orientierter Pflasterung eines Flächenstücks“ im Innern die Wege „wegen Gegenverkehrs“ paarweise wegheben, so dass nur die Randkurve übrig bleibt (siehe die folgende Skizze mit Erläuterung):

 <--^<--^    <------^  Skizze:
 |  ||  |    |      |  Links sieht man vier kleine gleich orientierte 'Pflastersteine'. Die in der
 v-->v--> =  |      |  Mitte eingezeichneten „inneren Wege“ werden paarweise in entgegengesetzter
 <--^<--^    |      |  Richtung durchlaufen; ihre Beiträge zum Linienintegral heben sich deshalb 
 |  ||  |    |      |  gegenseitig auf, so dass nur der Beitrag der Randkurve übrigbleibt. Es genügt 
 v-->v-->    v------>  also, die Integralsätze nur für möglichst kleine 'Pflastersteine' zu beweisen.

Bei hinreichender Verfeinerung der Pflasterung ist das im allgemeinen sehr einfach.

Spezialfälle

Mehrere Spezialfälle des allgemeinen Satzes von Stokes (siehe oben) sind in der klassischen Vektoranalysis von Bedeutung, und zwar 1.) der spezielle Satz von Stokes und 2.) der Satz von Gauß:

1.) Ist eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes und ihr Rand (z. B. eine Fläche und die sie umschließende Kurve), so kann man den Satz zu einer Aussage über die Rotation eines Vektorfeldes umschreiben (Rotation eines Vektorfeldes als dessen infinitesimale Wirbeldichte):

Hier benutzt man im Allgemeinen auf der linken Seite das doppelte Integralzeichen zur expliziten Erinnerung, dass es sich um ein Flächenintegral handelt.

Oft wird diese spezielle Version schon als Satz von Stokes bezeichnet, besonders in der Physik und den Ingenieurswissenschaften. Hier ist üblicherweise eine geschlossene Kurve und M die von ihr umschlossene Fläche. Andere Bezeichnungen sind Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz.

2.) Für eine kompakte Teilmenge V des und ein n-dimensionales Vektorfeld erhält man als einen weiteren wichtigen Spezialfall den gaußschen Integralsatz.

Dabei ist der n-dimensionale Normalen-Einheitsvektor () und die Integrale sind jetzt n- bzw. (n-1)-dimensional. Beim Beweis des allgemeinen Satzes von Stokes (siehe oben) ergibt sich dieser Satz als „Abfallprodukt“.

Man kann diesen Satz als Aussage über die Divergenz eines Vektorfeldes auffassen (Divergenz eines Vektorfeldes als dessen infinitesimale Quellendichte).

Bedeutung

Der Satz von Stokes ist von fundamentaler Bedeutung in der Differentialgeometrie. Darüber hinaus finden er und seine Spezialfälle in vielen Bereichen der Physik Anwendung, beispielsweise in der Elektrodynamik.