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Konstante Funktion

In der Mathematik ist eine konstante Funktion eine Funktion, die für alle Argumente stets denselben, also konstanten Funktionswert annimmt.

Definition und Charakterisierung

Sei eine Funktion zwischen zwei nichtleeren Mengen. Dann ist f konstant, wenn für alle gilt: f(x) = f(y).

Äquivalent zu dieser Definition ist die Aussage, dass die Bildmenge von f aus genau einem Element besteht.

Insbesondere in der Kategorientheorie werden konstante Funktionen mittels Hintereinanderausführung charakterisiert:

ist genau dann konstant, wenn für alle Funktionen gilt: .

Auf diese Weise werden konstante Morphismen sauber definiert. Gebräuchlich ist weiterhin: Ist für jede Funktion die Verknüpfung konstant, dann ist auch f konstant.

Eigenschaften, bekannte Funktionen

Im Fall einer konstanten Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen ist ihr Graph eine zur x-Achse parallele ("waagerechte") Gerade.

Der Begriff „Einsfunktion“ wird jedoch noch ein einem anderen Kontext verwendet. Mittels Hintereinanderausführung kann eine Gruppenstruktur auf einer Menge von Funktionen definiert werden. Das neutrale Element dieser Gruppe wird auch oft mit „Einsfunktion“ bezeichnet, ist aber keine konstante Funktion, sondern die identische Abbildung.

Die Konstanz einer Funktion ist nicht immer augenfällig: Betrachtet man eine beliebig vorgegebene Funktion, so kann sie konstant sein, obwohl ihr Funktionsterm scheinbar vom Argument abhängt. Ein Beispiel ist die Funktion , also auf dem Restklassenring modulo 2, mittels f(x) = x2x. Diese Funktion ist konstant 0 (da 02 − 0 = 0 und 12 − 1 = 0).

Weitere Zusammenhänge, Verallgemeinerungen