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Diskussion:Projektive Geometrie

Inhaltsverzeichnis

Der Artikel sollte gründlich überarbeitet werden

Der Artikel weist schwerwiegende Mängel und Ungenauigkeiten auf:

Es geht also scheinbar um eine ganz konkrete projektive Geometrie, nämlich um die "klassische" projektive Ebene . Heißt diese wirklich die projektive Geometrie? Meines Wissens wird mit projektive Geometrie eine allgemeine projektive Geometrie bezeichnet, also eine Geometrie, die den Axiomen einer projektiven Geometrie genügt. Eine solche Geometrie ist nicht eindeutig: Es gibt unendlich viele verschiedene Geometrien, die diesen Axiomen genügen.
Ferner ist der Begriff projektive Geometrie auch Bezeichnung für ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Auch dem sollte irgendwie Rechnung getragen werden.
Auch die Begriffe euklidische Geometrie und affine Geometrie bezeichnen meines Wissens keine eindeutige Geometrie.
Meines Wissens nach, bezeichnen euklidische Geometrie und affine Geometrie sogar unterschiedliche Geometrien. Zumindest nach der Einteilung von Felix Klein.rnd
Ja, beides ist eine Klasse von Geometrien. Wo kann man denn die Einteilung von Felix Klein finden?--MKI 15:57, 1. Nov 2005 (CET)
Müsste selbst suchen. Die Einteilung bekamen wir in der Vorlesung "Projektive Geometie" vorgelegt, als einen erster Versuch die Teilgebiete der Geometrie grob einzuteilen. Unterscheidungsmerkamal waren die geometrischen Objekte, die bei den Abbildugen der betreffenden Geometrie erhalten bleiben.
z.B.
Euklidische Geometrie: untersucht Gegenstände, die bei Konkruenzabbildungen unverändert bleiben. (Winkel, Streckenlängen, Kreise, ... )
Affine Geometrie: untersucht Gegenstände, die bei Parallelprojektion unverändert bleiben. (Teilverhältnisse, Parallelogramme, Ellipsen, ... )
Projektive Geometrie: untersucht Gegenstände, die bei Zentralprojektion unverändert bleiben. (Doppelverhältnisse, Kegelschnitte, Geraden, ... )rnd
Nun wird es also doch axiomatisch. Die angeführten Axiome sind ungenau (z.B. sollten die Punkte P und Q sowie die Geraden g und h jeweils voneinander verschieden sein) und unvollständig (normalerweise wird gefordert, dass auf allen Geraden mindestens 3 Punkte liegen). Außerdem sind dies die Axiome für eine projektive Ebene, nicht für eine allgemeine projektive Geometrie.
Abgesehen davon, dass die beiden Axiome ungenau formuliert sind, ergibt sich "Axiome 2" aus Axiom 1. Axiom 2 ist daher unnötig.rnd
Es wurde nie gesagt, was eine projektive Ebene eigentlich ist. Außerdem ist mir nicht klar, warum in einem Artikel über projektive Geometrie an dieser Stelle auf den Spezialfall der Ebene eingegangen wird. Schließlich ließe sich der angedeutete Sachverhalt auch allgemein für projektive Geometrien formulieren.
Es geht wieder nur um den Spezialfall der projektiven Ebenen. Dabei sind gerade die projektiven Ebenen nicht immer koordinatisierbar, die projektiven Geometrien einer Dimension > 2 aber schon (über einem Vektorraum über einem Körper oder Schiefkörper).--MKI 14:57, 26. Jun 2005 (CEST)
Die Einwände sind offensichtlich berechtigt, es kommt darauf an, dass sich jemand an die Überarbeitung macht... Das Problem von "die oder eine projektive Geometrie" wird von MKI allerdings überbewertet: Der Begriff "proj.G" ist, wie z.B. auch "Topologie" und viele andere mathematische Begriffe, doppeldeutig. Er bezeichnet
  1. als unzählbares Nomen ein Teilgebiet der Mathematik
  2. als zählbares Nomen die Gegenstände dieser Disziplin.
Einfach gesagt: Die projektive Geometrie ist der Bereich der Mathematik, der sich mit projektiven Geometrien befasst. -- Peter Steinberg
Teile des Artikels suggerieren, es gäbe nur eine einzige projektive Geometrie (als zählbares Nomen). Das ist es, was ich kritisiere.--MKI 16:54, 20. Sep 2005 (CEST)

Zur Gliederung des Begriffsfeldes "Projektive Geometrie"

...möchte ich auf das analoge Problem für die affine Geometrie hinweisen, wie es in Diskussion:Affiner Raum diskutiert wurde.

Hoppla, da wird ja heftig diskutiert, das hatte ich zuvor nicht gesehen. Aber egal welchen Standpunkt man einnimmt: Dieser Artikel ist höchst inkonsistent.--MKI 15:44, 26. Jun 2005 (CEST)
Die Diskussion ist schon lange eingeschlafen.--Gunther 16:07, 26. Jun 2005 (CEST)

Es scheint mir die folgenden Themen zu geben:

Dabei spielt der letzte Teil vermutlich auch bei den ersten drei eine mehr oder weniger große Rolle.--Gunther 15:20, 26. Jun 2005 (CEST)

Zellstruktur von RP(n)

Es waere nett wenn noch ein kleiner Verweis auf als CW-Komplex dazukommt:

kann gesehen werden als Sn / (v = − v). Das ist equivalent zur Hemisphaere Dn mit gegenueberliegenden Punkten des Randes von Dn gleich Sn − 1 identifiziert. Der Rand von Dn mit gegenueberliegenden Punkten identifiziert ist aber genau . Also erhaelt man durch Ankleben einer n-Zelle an . Die Anklebeabbildung ist die Projektion von Sn − 1 nach .


NEU MACHEN

Ich habe das alles jetzt mal reingestellt ...

(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Madrich (DiskussionBeiträge) Gunther 22:39, 14. Dez 2005 (CET))

Öhm. Geht es auch ohne den Schriftaufwand? Wenn man zu Äquivalenzklassen übergeht, kann man doch auch [v] oder sowas verwenden. Homogene Koordinaten (1:x:y) sollten ja von (1,x,y) auch so unterscheidbar sein.--Gunther 22:39, 14. Dez 2005 (CET)
Glaub mir, es lohnt sich das so durchzuziehen. Dadurch wird der Schreibaufwand später geringer ... (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Madrich (DiskussionBeiträge) Gunther 23:09, 14. Dez 2005 (CET))
Für die projektive Ebene dürfte man mit Buchstaben hinkommen (da kenne ich allerdings x,y (affin) vs. X,Y,Z (homogen)), für höherdimensionale Räume würde ich dringend (affin) bzw. (homogen) empfehlen. Mit --~~~~ kannst Du selbst unterschreiben.--Gunther 23:09, 14. Dez 2005 (CET)
Bin ich nicht für. Wir machen hoffentlich hier kein Tutorial für Mathematiker, sondern für den Otto-Normal-Konsumenten, der das mal in der Coputer-Grafik einsetzen will. Für den R>3 ist der Anwenderkreis doch sehr klein.--Madrich 23:39, 14. Dez 2005 (CET)
Otto-Normal-Konsument ist es allerdings auch nicht gewohnt, drei verschiedene Schriftarten auseinanderhalten zu müssen, oder zu wissen, welche Buchstaben welcher vierdimensionalen Koordinate entsprechen. Ich würde übrigens versuchen, die Abhängigkeit von den reellen Zahlen möglichst gering zu halten, denn projektive Ebenen über endlichen Körpern sind durchaus ein Gebiet, das für Laien zugänglich ist.--Gunther 23:42, 14. Dez 2005 (CET)
ja, hast du recht. Die reellen Zahlen werden später auch kaum mehr vorkommen. wir werden nachher sowieso nur noch mit den homogenen Koordinaten Arbeiten.--Madrich 23:53, 14. Dez 2005 (CET)

Ich hab's erstmal wieder hierher verschoben. "Überarbeiten" ist mehr als einen neuen Abschnitt hinzuzufügen und vor dem Rest "veraltet" dazuzuschreiben.--Gunther 01:00, 15. Dez 2005 (CET)

Was Du bisher geschrieben hast, passt für mein Gefühl wesentlich besser nach homogene Koordinaten. Mit projektiver Geometrie im eigentlichen Sinne hat es bislang wenig zu tun.--Gunther 01:02, 15. Dez 2005 (CET)

Denke ich nicht. Würde mich freuen, wenn das jetzt noch erweitert würde und vielleicht das Konzept dahinter (Dualität) erklärt würde. Dann sieht das schon ganz gut aus. --Madrich 01:06, 15. Dez 2005 (CET)
Siehe "Gliederung des Begriffsfeldes" weiter oben. Es ist ein umfangreiches Thema, aber da ich selbst nicht die Zeit habe, mich dem angemessen zu widmen, halte ich mich erstmal raus. Dein Teil steht wieder im Artikel, mach' mal.--Gunther 01:27, 15. Dez 2005 (CET)
Mir gefällt der Neueintrag gar nicht. Die Formeln stehen unkommentiert da, man kann nur erraten, was sie aussagen sollen. Es wird nirgends definiert, was eine projektive Geometrie überhaut ist. Außerdem halte auch ich es für anstrengend, die verschiedenen Schriftarten auseinanderzuhalten. Nicht alle projektiven Ebenen lassen sich koordinatisieren, der Neueintrag behandelt also -- wenn überhaupt -- nur Spezialfälle von projektiven Geometrien.
Manche Formeln verstehe ich nicht. Z.b. gleich das erste:
mit
Z.b. für (u,v,w)=(1,1,0) ergibt w*(x,y,z)=(0,0,0), die Gleichheit geht also nicht auf.
Ferner gefällt es mir nicht, dass der Neueintrag ganz nach vorne gesetzt und das Vorherige als veraltet deklariert werden musste. Mit dem Artikel kann in der aktuellen Form niemand etwas anfangen. Der alte Artikel war nicht gut (siehe meinen Beitrag dazu weiter oben); der Neueintrag macht es noch wesentlich schlechter.--MKI 11:06, 15. Dez 2005 (CET)

Hi MKI, ich dachte die Formel ist gerade leicht zu verstehen. Man kann das verdeutlichen, indem man nach den ersten 2 Komponenten des Vektors einen Trennstrich einführt, ich weiss nur nicht wie das geht.

Der Vektor (u,v,w)=(1,1,0) erfüllt , aber die angegebene Gleichheit ist falsch. Daran ändert sich auch nichts, wenn du anstatt Kommata Striche benutzt.--MKI 13:05, 17. Dez 2005 (CET)

Vom umfang her , ist das eigentlich erst ein Anfang. Was hier steht, wir bei uns in der ersten Vorlesung als Einführung in die Projektive Geometrie gelehrt. Das Konzept dahinter ist, wenn man mehr macht recht einleuchtend. Deswegen hoffe ich doch, dass ich nicht allein die Formeln kommentieren muss. Die Beschränkung auf den R3 habe ich bewusst gemacht, da für die Allgemeinheit mehr nicht von Interesse ist. Mathematiker und Physiker greifen da wohl eher zur Spezialliteratur.

--Madrich 23:54, 16. Dez 2005 (CET)

MKI meint: Die inhomogene Form funktioniert nur für .--Gunther 00:06, 17. Dez 2005 (CET)
Du hast vollkommen recht. Warum schreibst du es dann nicht gelich zu. Ist doch ein Wiki. Aus zeitmangel (ich habs gestern Nacht zw. 23-01 Uhr geschrieben, hab ich nicht gleich alles hingeplotet. Ich denke mal, dass wird ein recht langer iterativer Prozess, wo ich nicht alles alleine machen muss. Freue mich auf deine/eure Zusammenarbeit. --Madrich 00:26, 17. Dez 2005 (CET)
Ich bleibe dabei: Der Neueintrag ist unverständlich und beschreibt nicht, was ein projektiver Raum überhaupt ist. Die Argumentation, dass Mathematiker und Physiker anstatt des Wikipedia-Artikels lieber zu Spezialliteratur greifen sollen, akzeptiere ich nicht. Die übliche Vorgehensweise in der Wikipedia ist es, mathematische Objekte auch so zu definieren, wie es in der Mathematik üblich ist (hier also durch das Axiomensystem, das du nach unten verschoben hast) und dann die für die Anwendung interessanten Spezialfälle klar als solche zu benennen.--MKI 13:05, 17. Dez 2005 (CET)
Ok, dann bring die Axiome nach oben und schreib das verständlich. Ich kappier das nähmlich nicht, weil ich kein Mathematiker bin. --Madrich 14:51, 17. Dez 2005 (CET)

Und nun?

Nachdem Madrich uns offenbar wieder verlassen hat, was soll nun aus dem Artikel werden?--Gunther 20:06, 5. Jan 2006 (CET)

Mh, jetzt ist er mehr ein Loeschkandidat :-( Ich persoenlich habe ja schlicht keine Ahnung von projektiver Geometrie, wuerde aber vorschlagen, auf die Version vor seinen Aenderungen zu revertieren. Diese wurde zwar oben ebenfalls stark kritisiert, laesst sich aber meiner Einschaetzung nach einfacher verbessern als der jetzige Artikel. --DaTroll 15:46, 24. Jan 2006 (CET)
Ja, ich bin auch dafür die alte Version wieder herzustellen. Die Neuerung sieht mir nach einer Anwendung (in der Computergrafik?) aus, die obendrein unbeholfen formuliert ist. Die alte Version war wirklich nicht gut, aber besser als das das neugeschriebene ist sie allemal.--MKI 20:59, 24. Jan 2006 (CET)


Nächster Versuch?

Vorschlag zur Neugestaltung des Themengebiets:

Projektive Geometrie sollte eine allgemeine Einführung in das Thema bilden, d.h. ein Oma-Artikel in Prosa, der sich im wesentlichen auf eine grobe Begriffserklärung und die geschichtliche Entwicklung beschränkt. Für Details wird auf die weiterführenden Artikel Projektive Ebene, Projektiver Raum, ggf. weitere verwiesen. Dort wird dann das speziellere Lemma tiefergehend erklärt.

Insbesondere hieße das, hier alles ab Axiomatischer Zugang rauszunehmen und die weiterführenden Artikel entsprechend auszubauen. Zumindest bei Projektive Ebene könnte ich etwas beitragen, aber aufgrund der Schwere des Eingriffs hätte ich gerne ein paar Meinungen zu meinem Vorschlag.

Gruß --Wero 21:35, 10. Mai 2006 (CEST)

Meine Meinung: Nur keine Panik! Der Artikel ist nach mehreren Eingriffen gar nicht mehr so schlecht, die Struktur ist sogar sehr brauchbar. Er sollte jedenfalls der Hauptartikel zu diesem Thema bleiben! Die einzelnen Gegenstände der prG: Projektive Ebene ist o.k. oder kann (irgendwann mal) ein REDIRECT werden; Projektiver Raum braucht die Überarbeitung viel dringender als dieser Artikel! -- Peter Steinberg 23:44, 10. Mai 2006 (CEST)
Um noch etwas Begründung - insbesondere gegen den Vorschlag des Redirects - nachzuschieben: Gerade das Thema Projektive Ebene halte ich für ausbaufähig. Hier fehlen mir die Klassifikationen via Schließungssätze, Koordinatenbereich, und natürlich Kollineationsgruppe. Das sind zentrale Begriffe, die man durchaus einigermaßen allgemeinverständlich erklären kann. Zentral aber nur bei Ebenen, im Raum kann man aus diesen Begriffen nicht so viel Nektar saugen, dort gibt es wieder andere Entwicklungen. Will man beides hier verständlich einbauen, bräuchte man m.E. zwei getrennte Abschnitte - warum dann nicht gleich eine saubere Trennung vornehmen?
„Er sollte jedenfalls der Hauptartikel zu diesem Thema bleiben!“: Es scheint eher an mir zu sein Don't panic! rufen zu müssen. Projektive Geometrie ist schließlich per definitionem der Hauptartikel zur projektiven Geometrie und wird das auch bleiben. Die Frage ist nur, was alles reingepackt werden muß. Ich tendiere da eher zum Vorgehen wie eine Etage höher in Geometrie. Gruß --Wero 12:39, 11. Mai 2006 (CEST)

Jetzt habe ich den Artikel noch mal etwas gründlicher gelesen und fange an, ihn zu lieben. Was da Ende Januar geschafft worden ist (überwiegend von Gunther), ist ein Durchbruch. Zugegeben: Es reicht noch nicht für ein "lesenswert", aber der "Überarbeiten"-Vermerk kann m.E. raus. Keinesfalls sehe ich einen Grund, alles noch mal über den Haufen zu werfen.
Wenn du interessante Aspekte bei projektiven Ebenen kennst, Wero, dann schreibe sie doch in projektive Ebene. Ich kenn mich da nicht so aus, weiß aber, dass es bei zwei Dimensionen häufig zu eigenen Phänomenen kommt. Ich meine nur, dass der Artikel prj.E in der jetzigen Form einigermaßen überflüssig ist.
Verbesserungsfähig ist sicher Vieles: Die unendlich fernen Elemente tauchen an verschiedenen Stellen auf, sodass sich Manches doppelt; die Sache mit den verschiedenen Dimensionen könnte klarer formuliert sein (ein Hinweis auf höhere (>3) Dimensionen wäre das auch nicht schlecht); vielleicht sollte man auch sagen, wie ein ausgearteter prj.Raum aussieht. Und last not least: Das mit den homogenen Koordinaten kann man hier zweifellos viel schlichter erklären. (Den Hauptartikel hierzu gibt's ja auch noch; und der ist bisher sehr rechner-lastig.) Schade, dass ich zzt. da nicht ran kann. Ich ackere auf anderen Gebieten. -- Peter Steinberg 18:16, 11. Mai 2006 (CEST)

@Rumpler: Eben habe ich versucht, die Sache mit Projektive Geometrie vs Projektive Geometrien klar zu kriegen. (Dieses Problem gibt es in der Mathematik an allen Ecken und Enden, und es sollte möglichst einheitlich gelöst werden.) Nun sehe ich, dass ich „einst im Mai“ schon eine Reihe von Wünschen an mögliche Überarbeiter aufgeschrieben habe. Wenn dir dazu was einfällt: Mach dich ran! - Wenn du andere, eigene Ideen hast: Um so besser! - Sei mutig! -- Peter Steinberg 01:13, 5. Nov. 2006 (CET)

Das Hauptproblem des Artikels ist, daß er mehrere sachlich falsche Aussagen enthält. Es ist in der Tat richtig, daß man die projektive Geometrie einmal von der Grundstruktur und einmal axiomatisch definieren kann. Die Grundstruktur ist jedoch in keinem Fall die euklidische Geometrie mitsamt dem Parallelenpostulat, dann funktioniert nämlich gar nichts mehr, sondern schlicht und ergreifend ein beliebiger Vektorraum V. Man kann das Ganze über die affine Geometrie ziehen, das erleichtert manchen Beweis, ist aber für die Einführung sehr schwierig. Die Axiome sind so korrekt, allerdings sollte man da auch noch erwähnen, daß alle Axiome direkt folgen wenn man aus der Vektorraumstruktur kommt... Ich werde das, wenn ich Zeit habe im Artikel verbessern... -- Oceanborn 22:04, 27. Nov 2006 (CET)

räumliche Geometrie und projektiver Raum

Man beachte das diese oberflächlich ähnlichen Begriffe/Sprechweisen nicht austauschbar sind.

räumliche (projektive) Geometrie: hier steht Raum bzw. räumlich für Dimension d.h. 2-dim projektiver Räume (=Ebenen) werden ausgeschlossen. Hier gilt der Satz von Desargues

projektiver Raum: schliesst 2-dim projektive Räume bzw. Ebenen ein, daher gilt hier der Satz von Desargues im Allgemeinen nicht.--Kmhkmh 16:30, 14. Okt. 2007 (CEST)