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Nichtlineare Stabstatik

Die nichtlineare Stabstatik ist eine Statik, die für stabförmige Bauteile angewendet werden kann und insbesondere für wirklichkeitsnahe Berechnungen schlanker Druckglieder, Stützen und Balken aus Stahlbeton oder Spannbeton von Bedeutung ist. Sie berücksichtigt nichtlineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen (physikalische Nichtlinearität). Dies schließt auch die Berücksichtigung linearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen als Sonderfall mit ein. Wenn erforderlich, wird das Gleichgewicht nach Theorie 2. Ordnung unter Berücksichtigung der Auswirkungen von Tragwerksverformungen berechnet (geometrische Nichtlinearität).

Die Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen werden mit nichtlinear oder linear elastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen berechnet (Stoffgesetze). Es gilt das Ebenbleiben des Querschnitts. Zur Dehnungsebene

werden die inneren Schnittgrößen, die Spannungsresultanten

vorzugsweise durch numerische Integration der Spannungen berechnet (Spannungsintegration). Die zu einer äußeren Einwirkung

gehörende Dehnungsebene muss die Bedingung R = S erfüllen. Hierzu ist ein nichtlineares Gleichungssystem für die drei Unbekannte iterativ zu lösen, für die Dehnung im Nullpunkt des yz Koordinatensystems des Querschnitts und für die beiden Verkrümmungen und . Hierzu ist das Broyden-Verfahren sehr gut geeignet (s. unten).

Für die linear elastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung und das yz Hauptachsensystem ergibt die Spannungsintegration

.

Nur für diesen Sonderfall können die einzelnen Elemente des Verzerrungsvektors oder des Dehnungszustandes D unmittelbar ohne Iteration mit den so genannten Querschnittswerten und berechnet werden,

Inhaltsverzeichnis

Baupraktische Bedeutung

Die Berücksichtigung nichtlinearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen ist zur Berechnung des wirklichkeitsnahen Tragverhaltens (Bauteilverformungen, Tragfähigkeiten) von Tragwerken insbesondere aus Stahlbeton oder Spannbeton unerlässlich. Risse führen zu größeren Bauteilverformungen und verminderter Bauteilsteifigkeit.

Stabberechnungen

Klassische Verfahren der Baustatik gelten für lineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen. Zur Berücksichtigung nichtlinearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen werden Matrizenverfahren mit Computerprogrammen angewendet. Am bekanntesten ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Bei FEM-Berechnungen mit nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen ist das Konvergenzverhalten der iterativen Berechnung durch die Größe der finiten Elemente, durch die Größe der Lastinkrementierung und durch die Unstetigkeit der Spannungs-Dehnungs-Beziehung beeinflusst. Beim Anwender müssen entsprechende Kenntnisse zur geeigneten Tragwerksmodellierung vorausgesetzt werden.

Für Stabtragwerke ist die Kombination des Drehwinkelverfahrens mit der Einzelstab-Berechnung eine zweckmäßige Alternative zu FEM-Berechnungen. Die stabweise Berechnung der einzelnen Stäbe des Tragwerks kann nach dem Übertragungsverfahren oder durch numerisches Lösen des Systems der Differentialgleichungen erfolgen. Insgesamt verbleiben erhebliche weniger Unbekannte. Dies verbessert die Konvergenz der iterativen Berechnung erheblich.

Numerisches Berechnen des Systems der Differentialgleichungen

Die klassische Differentialgleichung 4. Ordnung für den linear elastischen Stab unter einachsiger Biegung und ohne Drillung

wird als System von vier Differentialgleichungen 1. Ordnung formuliert. Die Matrix mit den vier Zustandsgrößen

für alle Stellen x des Stabes wird aus den Gradienten an den Stellen x des Stabes

mit Hilfe von numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung berechnet (Runge, Heun). Bei zweiachsiger Biegung ergeben sich sinngemäß acht Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Die Verkrümmungen 1 / r(M(x)) = k(M(x)) werden zu den Biegemomenten M(x) mit speziellen Funktionen ermittelt. Für lineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen ist k(M(x)) = M(x) / EI. Für nichtlineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen kann die Verkrümmung k(M(x)) = dε / dx mit dem Verfahren der Spannungsintegration iterativ bestimmt werden. Für Stäbe mit konstanter Längskraft N und nur einachsiger Biegung ist es effektiver, die Verkrümmungen k(M) vorweg für einzelne Biegemomente M zu berechnen und k(M(x)) aus den Wertepaaren M und k(M) zu interpolieren. Die Wertepaare M und k(M) können als Moment-Verkrümmungs-Linie dargestellt werden. Der für zunehmende M oder k(M) abnehmende Gradient dM / dk der Mk Linie gibt die beanspruchungsabhängige Verminderung der Biegesteifigkeit an.

Anfangswerte als Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems

Zur numerischen Lösung der Differentialgleichungen sind bei einachsiger Biegung zwei unbekannte Anfangswerte ZA in den Zustandsgrößen iterativ zu bestimmen, bei zweiachsiger Biegung vier. Mit den Anfangswerten darf die numerische Berechnung der Differentialgleichungen keine Differenzen gegenüber den beiden bekannten Endwerten ZE in den Zustandsgrößen am Stabende belassen. Für die iterative Berechnung der Anfangswerte kann das Broyden-Verfahren verwendet werden.

Siehe auch

Literatur