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Multilineare Abbildung

In dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete verallgemeinern die multilinearen Abbildungen den Begriff der Determinanten sowie den Begriff des Produktes (im Sinne einer Multiplikation).

Definition

Eine multilineare Abbildung ist eine auf einem Produktraum definierte Abbildung, welche bezüglich jedem ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist: Ist p>0 eine ganze Zahl, so ist eine p-(multi)lineare Abbildung von der Form

mit der Eigenschaft, dass

wobei fi(a) die partielle Abbildung

und L(E;F) die Menge der linearen Abbildungen von E nach F bezeichnet.

Dies impliziert, dass alle Ei und F Moduln über demselben Ring k, oder Vektorräume über dem demselben Körper k sind.

Dies ist auch der Fall, wenn jedes Ei ein Vektorraum über einer Erweiterung ki des Körpers k ist.

Falls F=k, spricht man von einer Multilinearform.

Die Menge aller p-linearen Abbildungen von nach F wird mit

Lp(E1,...,Ep;F)

bezeichnet; falls alle Ei=E dieselben sind, notiert man auch

Lp(E,...,E;F) = :Lp(E;F) und schließlich Lp(E,...,E;k) = :Lp(E).

Beispiele

Jede lineare Abbildung ist eine 1-lineare Abbildung.

Für p>1 ist die Nullabbildung die einzige lineare Abbildung, welche auch p--linear ist. (Zum Beweis schreibe man (x,y,...)=(x,o,...)+(o,y,...) und benutze f(...)=o sobald eines der Argumente null ist, aufgrund der Linearität.)

Jede bilineare Abbildung ist eine 2-lineare Abbildung.

Das Spatprodukt [x,y,z]=x·(y×z) im R3 ist eine 3-lineare Abbildung, d.h. .

Sämtliche gemeinhin üblichen Produkte sind 2-lineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, Skalarprodukt,...

Eine Determinantenform in einem n-dimensionalen Vektorraum ist eine n-lineare Multilinearform.

Weitere Eigenschaften

Die symmetrische Gruppe der Permutationen von {1,...,p} definiert eine Operation auf Lp(E;F),

d.h. durch Permutation der Argumente der p-linearen Abbildung. (Man zeigt, dass σ(τ f)=(σ o τ)f, indem man dies zunächst für zwei Transpositionen (i j),(i k) zeigt.)

Eine Abbildung heißt dann

Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer und den Antisymmetrisierer , welche eine beliebige multilineare Abbildung f symmetrisch resp. antisymmetrisch "machen". (Manche Autoren dividieren durch einen Faktor p!, um diese Operatoren idempotent (d.h. zu Projektoren auf die entsprechenden Unterräume) zu machen, was jedoch in Körpern mit endlicher Charakteristik nicht immer möglich ist.)

Man zeigt einfach, dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist, während eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn 1+1≠0, und ansonsten symmetrisch ist.

Zum Beispiel sind das Kreuzprodukt und das Spatprodukt antisymmetrische Abbildungen.

Determinantenformen sind Beispiele für alternierende Multilinearformen (per Definition).