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Zielmenge

Im Kontext einer mathematischen Funktion , welche Elemente einer Menge A auf Elemente einer Menge B abbildet, bezeichnet man B als Zielmenge[1] oder Wertevorrat[2][3] der Funktion.

Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge[4] oder Wertebereich[3][5] benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge[6] von f. Es besteht also Verwechslungsgefahr. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von f – es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch alle tatsächlich alle durch f angenommen werden.

Die Menge der Werte, die als Funktionswert von f erscheinen, ist die Bildmenge. Ist die Bildmenge von f gleich der Zielmenge von f, so heißt f surjektiv.

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, können niemals gleich sein.

Beispiel

Die Funktion ordne jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu. Es gilt also:

Die Zielmenge der Funktion ist , die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit bezeichnet).

Die Funktion mit hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie f. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt trotzdem .

Zusammenstellung der verschiedenen Mengen

Anhand der nebenstehenden einfachen Beispielfunktion sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklärt werden:

Einzelnachweise

  1. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S 104
  2. G. Wittstock Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001. Bezeichnung 1.3.3, S. 19
  3. a b Reinhard Dobbener: Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2007, ISBN 3486579991. S 12, Definition 1.12
  4. Andreas Gathmann: Vorlesung Grundlagen der Mathematik (WS 2007/08 und SS 2008) Kapitel 1 Etwas Logik und Mengenlehre Seite 9, Definition 1.14
  5. Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S 21
  6. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S 106