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Diskussion:Kleinster gemeinsamer Nenner

Der Begriff "kleinster gemeinsamer Nenner" sollte sowohl in der Mathematik wie als umgangssprachliche Metapher für Kompromisse auf niedrigstem Niveau vermieden werden. Im bisherigen Artikel scheint mir einiges falsch: In der Mathematik ist der kleinste gemeinsame Nenner (denn gibt es gar nicht!) mehrerer Brüche, auch Hauptnenner (den gibt es!) oder Generalnenner genannt, das kleinste gemeinsame Vielfache (das gibt es!) der einzelnen Nenner. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, erweitert man alle Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner. (selbst wenn hier Hauptnenner stünde, wäre es so strikt nicht günstig, weil für die Addition es auch das Produkt der Nenner, ein gemeinsames Vilefaches, oder eine Vielfaches davon tut.) Beispiel (zumindest unglücklich, da hier das Konzept des Produkts als gemeinsames Vielfache und das Konzept des kleinsten gemeinsamen Vielfachen über Primfaktorzerlegung zusammenfällt; es sieht dann so aus als würde das kgV immer als Produkt berechnet): Umgangssprachlich versteht man unter dem kleinsten gemeinsamen Nenner einen Kompromiss, bei dem man sich auf möglichst viele Gemeinsamkeiten einigt, die mit den gegensätzlichen Positionen vereinbar sind. '(Das stimmt zwar, aber man sieht hier die Crux der falschen Metapher, denn der Ausdruck kgN wird meist kritisch gebraucht, wenn die Partner lediglich statisch feststellen, welche gemeinsamen Postionen sie haben, und nicht durch Verhandlungen versuchen ihre Schnittmenge von einigungsfähigen Positionen zu erweitern.)' --84.176.211.116 14:54, 1. Dez 2005 (CET)

Warum soll es den Begriff "kleinster gemeinsamer Nenner" nicht geben?--Gunther 18:17, 2. Dez 2005 (CET)


Ich habe das so gelernt: es gibt nur ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (KGV) und einen grössten gemeinsamen Nenner (GGN). Dieser ist der Kehrwert des KGV aller Nenner. Das KGV lässt sich über die Primfaktorenzerlegung finden, ist also etwas komplizierter als das jetzt im Wiki gewählte Beispiel.

Beispiele:

1/6; 1/12 ... GGN = 1/12

1/3; 1/4; 1/6; 1/8 ... GGN = 1/24

Die Definition eines KGN, wie sie derzeit im Wiki steht, steht nur für das KGV der Zahlen im Nenner. Für diese Äquivalenz braucht man sicher keine eigene Definition. Interessant ist nur der Kehrwert: Der Kehrwert eines Kleinsten (KGV) wird dann ein Größtes (der GGN).

Legen wir diese Defintion auf die Mengenlehre um, entspricht der GGN der Schnittmenge, ist also durchaus etwas Sinnvolles. Wenn man umgangssprachlich einen "gemeinsamen Nenner" sucht, meint man ja auch stets den GRÖSSTEN, aber eben gemeinsamen. Über einen kleineren Nenner braucht man nicht zu reden, und der kleinste ist stets die leere Menge. Nicht alles, was wir umgangssprachlich verwenden (wie den Begriff des KGN), ist eben sinnvoll.

--Hhoffmann4y 20:12, 19. Feb 2006 (CET)

Das widerspricht der üblichen Verwendung des Begriffes "Nenner". Der Nenner von 1/12 ist 12, nicht 1/12. Infolgedessen gibt es auch keinen größten, sondern einen kleinsten gemeinsamen Nenner.--Gunther 20:15, 19. Feb 2006 (CET)


Ja ja das ist verwirrend. Bei dieser Definition ist nämlich der kleinste gemeinsame Nenner stets die Zahl 1 - diese ist tatsächlich die kleinste, die in allen Nennern enthalten ist.

Noch eine Anmerkung zu: "... Summe mehrerer Brüche (in Gleichungen) umformulieren ..."

Die derzeit zitierte Formel zeigt nur, wie man auf einen gemeinsamen Nenner kommt, hat aber nichts mit mit einem kleinsten oder grössten Nenner zu tun. Somit wäre sie zu streichen.

--Hhoffmann4y 20:32, 19. Feb 2006 (CET)

Habe das "allgemeine Beispiel" entfernt, da es mir unklar war. Ich nehme an, dass damit gemeint war, dass man den Begriff Hauptnenner auch in einem Kontext verwenden kann, in dem gar nicht klar ist, welche möglichen Nenner im gewöhnlichen Sinne "klein" sind. Sie sind dann jedoch "am kleinsten" bezüglich der Teilbarkeitshalbordnung.--Gunther 02:16, 26. Jun 2006 (CEST)

Nochmal zur umgangssprachlichen Metapher: Diese wird oftmals (auch von gebildeten Autoren) im mathematischen Sinn falsch angewendet, so z.B. Paul Kirchhof im Kölner Stadtanzeiger vom 21.07.2006 auf S. 7: "Ich glaube, wir dürfen nicht so arg enttäuscht sein, wenn eine große Koalition sich ... nur auf einen relativ kleinen Nenner verständigt." im Sinne von "nur wenige/geringe Gemeinsamkeiten aufweist". Mathematisch haben aber zwei Brüche mit kleinem KgN gerade große Gemeinsamkeiten und umgekehrt, z.B. haben 1/12 und 1/18 (mit dem KgN 36) den Teiler 1/36 = 0,02777... gemeinsam, dagegen 1/12 und 1/19 (mit dem KgN 228) lediglich den Teiler 1/228 = 0,00438... – also: kleiner Nenner, großer Wert (und umgekehrt). Aber dieser falsche Sprachgebrauch ist offenbar nicht auszurotten. --HReuter 02:00, 26. Jul 2006 (CEST)