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Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator ist ein zentrales mathematisches Objekt der Quantenmechanik. Er beschreibt die dynamischen Eigenschaften eines Systems und erscheint beispielsweise in der Schrödingergleichung. Man kann den Hamiltonoperator semi-heuristisch aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik ableiten, indem man die dynamischen Variablen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt. Der Hamiltonoperator ist benannt nach William Rowan Hamilton.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

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,
dabei sind Funktionen eines Operators ebenfalls über den Spektralsatz definiert. Falls der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, reduziert sich die Formel zu
.

Darstellungen

.

Im Ortsraum hat er die Darstellung

,

wobei der Laplace-Operator ist. Die Schrödingergleichung lautet somit

Beispiele

,

der entsprechende Hamiltonoperator lautet

.

In der Ortsdarstellung gilt also

.

wobei μB das Bohrsche Magneton und den Spinoperator in Richtung i darstellt. ist das externe Feld, in dem sich die Spins befinden.

.

e bezeichnet die Elementarladung, das skalare Potential und das Vektorpotential. Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass die Operatoren und nicht vertauschen.

Siehe auch