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Wendepunkt

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt an der "Wendestelle" xW liegt vor, wenn die erste Ableitungsfunktion der differenzierbaren Funktion f an der Stelle xW ein relatives Extremum besitzt. Daraus lassen sich mehrere Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten eines Funktionsgraphen ableiten.

Ein Spezialfall des Wendepunkts ist der Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt).

Die Tangente durch einen Wendepunkt wird Wendetangente genannt (Im Bild rot).

Inhaltsverzeichnis

Notwendiges Kriterium zur Bestimmung von Wendepunkten

Aus der Existenz eines Wendepunktes folgt, dass die zweite Ableitung an der Wendestelle gleich null ist:

Hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

Die zuvor angegebene Bedingung ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für einen Wendepunkt. So ist beispielsweise die zweite Ableitung der Funktion an der Stelle x = 0 gleich null, obwohl der Graph keinen Wendepunkt besitzt.

Hinreichendes Kriterium ohne Verwendung der dritten Ableitung

Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von für x < xW und für x > xW untersucht werden.

Wechselt vom Negativen ins Positive, so ist xW Rechts-Links-Wendestelle. Wenn an xW vom Positiven ins Negative wechselt, so ist xW eine Links-Rechts-Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium unter Verwendung der dritten Ableitung

In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle xW selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist. Der Hauptnachteil gegenüber der schon erläuterten Bedingung liegt darin, dass im Falle keine Entscheidung getroffen werden kann.

Genauer folgt aus und , dass xW eine Rechts-Links-Wendestelle ist. Entsprechend ist xW für und eine Links-Rechts-Wendestelle.

Beispiel

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion gegeben durch:

Eine Wendestelle xW muss die Bedingung

erfüllen. Es kommt also nur xW = 2 in Frage. Um zu klären, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, untersucht man nun auch die dritte Ableitung:

Aus ist zu schließen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Diese Tatsache ist auch ohne Verwendung der dritten Ableitung zu erkennen: Wegen für x < 2 und für x > 2 ändert sich das Krümmungsverhalten; daher muss ein Wendepunkt vorliegen.

Die y-Koordinate dieses Wendepunkts erhält man durch Einsetzen von x = 2 in die Funktionsgleichung.

Um auch die Gleichung der Wendetangente herauszufinden, benötigt man die erste Ableitung.

Wendetangente:

Siehe auch: Kurvendiskussion

Besondere Fälle

1.

Der Graph dieser Funktion ändert bei x = 0 sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung).

Dennoch hat die Funktion bei x = 0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x = 0 nicht existiert. Der Graph von hat daher für x = 0 kein Extremum.

2.

Diese Funktion besitzt in x = 0 eine Wendestelle, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert.

Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion bei x = 0 ein Minimum.

 Wiktionary: Wendepunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik