Oktaeder
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Oktaeder

Das Oktaeder [ɔktaˈeːdɐ] (nach griech. oktáedron = Achtflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit

Das Oktaeder ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche) als auch ein gleichseitiges Antiprisma (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Inhaltsverzeichnis

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

und ist

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders - die Oktaeder- oder Würfelgruppe - 48 Elemente.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (und umgekehrt).

Setzt man auf die Seiten des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht das Sterntetraeder.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Formeln

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Inkugelradius
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das n-dimensionale Kreuzpolytop hat 2n Ecken und wird von 2n (n-1)-dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. (Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat.)

Ein Modell für das n-dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der l1-Norm

für

im Vektorraum Rn. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

.
bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Anwendungen

In der Chemie bei der Vorhersage von Molekülgeometrien nach dem VSEPR-Modell können sich oktaedrische Moleküle ergeben. Auch in Kristallstrukturen wie der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6) taucht der Oktaeder in der Elementarzelle auf. Genauso in der Komplexchemie falls sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommende Minerale, z.B. das Alaun, kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische Spielewürfel verwendet und dort als "W8", also Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

 Commons: Oktaeder – Bilder, Videos und Audiodateien