Heim

Raumkurve

Eine Raumkurve ist eine Kurve im dreidimensionalen Raum.

Ihre theoretische Untersuchung ist ein Gegenstand der Differentialgeometrie. Angewandt spielen Raumkurven unter anderem in der klassischen Mechanik als Bahnkurven und in der Strömungslehre als charakteristische Linien eine wichtige Rolle.

In der (klassischen) Mechanik lässt sich die Bahn eines Massenpunktes im Raum mathematisch als Raumkurve beschreiben. Hier ist eigentlich die Bezeichnung Weg zutreffender, da Bahnkurven durch die Zeit parametrisiert sind. Weitere Anwendungen sind die charakteristischen Linien in Strömungen, wie z. B. Stromlinien und Bahnlinien. Die beiden Begriffe fallen für stationäre Strömungen zusammen. Dieser Artikel widmet sich vorwiegend der Anwendung in der klassischen Mechanik. Dabei werden die betrachteten mathematischen Funktionen stets als hinreichend oft differenzierbar vorausgesetzt.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungen in der Mechanik

Bahnkurven

Mathematisch lassen sich Raumkurven mit den Frenetschen Formeln beschreiben. Dabei wird jedem Punkt der Kurve ein begleitendes Dreibein aus Tangenteneinheitsvektor , Hauptnormaleneinheitsvektor und Binormaleneinheitsvektor zugeordnet. Die genaue Definition und geometrische Bedeutung dieser Vektoren wird im Artikel Frenetsche Formeln erläutert.

Beschreibt die Raumkurve den Ort eines Massenpunktes zum Zeitpunkt t, dann haben die dadurch gegebenen Richtungen folgende physikalische Bedeutung:

Richtung des Dreibeinvektors: Richtung der vektoriellen Größe:
Tangenteneinheitsvektor Momentangeschwindigkeit
Hauptnormaleneinheitsvektor Zentralanteil der Momentanbeschleunigung
Binormaleneinheitsvektor Momentaner Drehimpuls bezogen auf den Krümmungsmittelpunkt

Arbeit und Potential

Die Definition des Arbeitsintegrals erfolgt über eine (gedachte) Raumkurve:

Dabei bewegt sich ein (gedachter) Massenpunkt zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 auf dem Weg vom Anfangspunkt zum Endpunkt durch das vom Ort und der Zeit t abhängige Kraftfeld . Das Differential dW dieses Integrals ist die physikalische Arbeit, sein Wert ist die von dem Massenpunkt aufgenommene Energie.

In einem stationären Kraftfeld (das sich zeitlich nicht ändert) sind Arbeit und Arbeitsintegral zeitunabhängig, die Raumkurve kann dann mit einer beliebigen Variablen parametrisiert werden und das Arbeitsintegral vereinfacht sich zu

Wenn dieses Arbeitsintegral in einem Raumgebiet V allein von Anfangs- und Endpunkt und nicht von der Wahl des Weges abhängig ist, dann kann es zur Definition eines Potentials

auf V verwendet werden. Die skalare Funktion gibt bei festem Anfangspunkt die potentielle Energie des Ortes (bezogen auf ) an.

Beispiele für Bahnkurven

Sonstiges

Literatur