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Vektorfeld

In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der pysikalischen Feldtheorie. Zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchen einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen- oder der Schwerkraft zu beschreiben.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Vektorfelder im euklidschen Raum

Unter einem Vektorfeld v auf einer Menge versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt einen Vektor zuordnet, . Ist v k-mal differenzierbar, so spricht man von einem Ck-Vektorfeld. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge Ω ein „Pfeil angebracht“.

Beispiele

mit .

Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel TM.

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Ck-Abbildung v, so dass mit gilt. Es wird also jedem ein Vektor zugeordnet. Die Abbildung π ist die natürliche Projektion mit .

Anmerkungen

Diese Definition verallgemeinert die der Vektorfelder im euklidschen Raum. Es gilt nämlich und .

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

Anwendungen

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.

Siehe auch

Literatur

Königsberger: Analysis 2, Springer-Verlag, Berlin, 5. Auflage, 2004

John Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer-Verlag, 2. Auflage