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Diskretisierung

Als Diskretisierung (engl. Discretization) bezeichnet man die Gewinnung von endlich vielen (also diskreten) Daten aus einer kontinuierlichen Informationsmenge. Kontinuierliche Objekte sind immer überabzählbar unendlich und Ziel der Diskretisierung ist es, diese Objekte in endlicher Zeit und mit endlichem Speicherplatz bearbeiten zu können.

Diskretisierung ist ein zentrales Konzept in der numerischen Mathematik,wie in der Kartographie, wo damit die Zerlegung räumlicher Kontinua wie Oberflächen, geschwungene Linien etc. in kleine Abschnitte bzw. einzelne Punkte bezeichnet wird.

Diskretisierung von Differentialgleichungen

Differentialgleichungen haben als Lösung Funktionen, die Bedingungen an ihre Ableitungen erfüllen. Eine Diskretisierung geschieht meist, indem Raum und Zeit durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt werden. Die Ableitungen werden dann nicht mehr durch einen Grenzwert dargestellt, sondern durch Differenzen approximiert. In der numerischen Mathematik wird der dadurch entstandene Fehler analysiert und möglichst gut abgeschätzt.

Je nach Art der Gleichung werden unterschiedliche Diskretisierungsansätze gewählt, bei partiellen Differentialgleichungen etwa Finite-Volumen-Verfahren oder Finite-Elemente-Verfahren.

Es wird zwischen adaptiven und nichtadaptiven Diskretisierungen unterschieden. Nichtadaptive Gitter haben überall dieselbe Auflösung. Im Gegensatz dazu sind adaptive Gitter derart, dass dort wo große Fehler erwartet werden, das Gitter feiner gewählt wird, entweder durch a-priori-Wissen über das betrachtete Problem oder durch Verfahren, die anhand der gegebenen Gleichung dynamisch dort verfeinern, wo der Fehler gerade groß ist. Letzteres ist insbesondere bei instationären Problemen wichtig.

Die diskretisierte Differentialgleichung enthält keine Ableitungen mehr, sondern nur noch rein algebraische Ausdrücke. Damit ergibt sich entweder eine direkte Lösungsvorschrift oder ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem, welches dann mittels numerischer Verfahren gelöst werden kann.

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