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Symmetrische Gruppe

Die symmetrische Gruppe Sn (oder Symn) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Die Gruppenoperation ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die Permutation, die alle Elemente invariant lässt. Die symmetrische Gruppe Sn ist endlich und besitzt die Ordnung n!; für n > 2 ist sie nicht kommutativ.

Inhaltsverzeichnis

Notation

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren; bildet zum Beispiel eine Permutation p das Element 1 auf p1, das Element 2 auf p2 usw. ab, so kann man hierfür

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation p − 1, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise: geht p1 in p2, p2 in p3, ..., pk in p1 über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür

und nennt dies einen Zyklus der Länge k. Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden.

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie dieselbe Zyklenstruktur aufweisen, das heißt, die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen stimmen überein. In diesem Fall handelt es sich nur um eine Umnumerierung der Elemente, die permutiert werden.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe Sn besitzt außer den trivialen Normalteilern {1} und Sn nur die alternierende Gruppe An als Normalteiler, für n = 4 zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe V.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn isomorph, wobei n nicht größer als die Ordnung von G ist.


Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen p1 und p2 wird als geschrieben: zuerst wird die Permutation p1 ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation p2 angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:

In Zyklenschreibweise lautet dies:

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für n > 2 ist die symmetrische Gruppe Sn nicht kommutativ, wie man an folgender Rechnung sieht:

Siehe auch