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Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist eine Einstufung von Aussagen und Urteilen nach dem Grad der Gewissheit (Sicherheit). Besondere Bedeutung hat dabei die Gewissheit von Vorhersagen. In der Mathematik hat sich mit der Wahrscheinlichkeitstheorie ein eigenes Fachgebiet entwickelt, das die Messung von Wahrscheinlichkeiten untersucht.

Inhaltsverzeichnis

Wahrscheinlichkeitsauffassungen

Man unterscheidet unterschiedliche Auffassungen von Wahrscheinlichkeiten (bzw. Wahrscheinlichkeitsbegriffe).

Symmetrieprinzip – klassische oder Laplacesche Auffassung

Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der „günstigen Ereignisse“ zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Dies ist die sogenannte ‚klassische‘ Definition, wie sie von Christiaan Huygens und Jakob I. Bernoulli entwickelt und von Laplace formuliert wurde. Sie ist die Grundlage der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Elementarereignisse besitzen gleiche Eintrittswahrscheinlichkeiten. Voraussetzung ist eine endliche Ergebnismenge und Kenntnis der A-priori-Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel: Bei einem „fairen“ Würfel (d.h. kein Ergebnis wird durch unsymmetrische Massenverteilung o.Ä. bevorzugt) überlegt man sich, dass jede Zahl die gleiche Chance hat, nämlich 1/6. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „gerade Zahl“ berechnet man wie folgt: Es gibt drei günstige Ereignisse (2, 4, 6) und sechs mögliche Ereignisse, daher erhält man 3/6 = 0,5 als Resultat.

Häufigkeitsprinzip – Statistische Wahrscheinlichkeitsauffassung

Ein Zufallsexperiment wird so oft wie möglich wiederholt, dann werden die relativen Häufigkeiten der jeweiligen Elementarereignisse berechnet. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist nun der Grenzwert seiner relativen Häufigkeit bei (theoretisch) unendlich vielen Wiederholungen. Dies ist die sogenannte ‚Limes-Definition‘ nach von Mises. Das Gesetz der großen Zahlen spielt hier eine zentrale Rolle. Voraussetzung ist die beliebige Wiederholbarkeit des Experiments; die einzelnen Durchgänge müssen voneinander unabhängig sein. Ein anderer Name für dieses Konzept ist Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Beispiel: Man würfelt 1000 Mal und erhält folgende Verteilung: die 1 fällt 100 Mal (das entspricht einer relativen Häufigkeit von 10 %), die 2 fällt 150 Mal (15 %), die 3 ebenfalls 150 Mal (15 %), die 4 in 20 %, die 5 in 30 % und die 6 in 10 % der Fälle. Der Verdacht kommt auf, dass der Würfel nicht fair ist. Nach 10.000 Durchgängen haben sich die Zahlen bei den angegebenen Werten stabilisiert, sodass man mit einiger Sicherheit sagen kann, dass z.B. die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln, bei 15 % liegt.

Quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsauffassung

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist die Wellenfunktion eines Teilchens seine fundamentale Beschreibung. Das Integral des Quadrates der Wellenfunktion über ein Raumgebiet kann man dann als Wahrscheinlichkeit definieren, das Teilchen darin anzutreffen.

Siehe auch Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Quantenlogik.

„Der aufschlussreiche Unterschied zwischen dem quantenmechanischen und dem klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff liegt darin, dass jener der Interferenz unterliegt, dieser nicht.“

Brian Greene (Der Stoff, aus dem der Kosmos ist. ISBN 388680738X, S. 245)

Subjektivistische Wahrscheinlichkeitsauffassung

Bei einmaligen Zufalls-Ereignissen kann man deren Eintretenswahrscheinlichkeit nur schätzen, nicht berechnen. Zentrale Gesichtspunkte sind hier Expertenwissen, Erfahrung und Intuition. Daher spricht man von einer subjektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassung, siehe auch Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Beispiel: Nachdem jemand verschiedene Autos besessen hat, schätzt er die Wahrscheinlichkeit als hoch ein (z.B. „Ich bin mir zu 80 Prozent sicher“), mit der Marke XY auch beim nächsten Autokauf wieder zufrieden zu sein. Dieser Vorhersagewert kann z.B. durch einen Testbericht nach oben oder unten verändert werden.

Andere Wahrscheinlichkeitsauffassungen

Stochastik

Hauptartikel: Stochastik

Stochastik als ein Teilgebiet der Mathematik ist die Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Sie ist ein verhältnismäßig junger Teilbereich der Mathematik, zu dem im weiteren Sinne auch die Kombinatorik, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Statistik gehören.

Häufig wird der mathematische Begriff von Wahrscheinlichkeit benutzt: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Wahrscheinlichkeitstheorie (Teilgebiet der Stochastik) kümmert sich um die mathematische Systematisierung von Wahrscheinlichkeiten. Hier werden Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion, bedingte Wahrscheinlichkeit und viele andere Begriffe unterschieden.

Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1, wobei Null und Eins zulässige Werte sind. Einem unmöglichen Ereignis wird die Wahrscheinlichkeit 0 zugewiesen, einem sicheren Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1. Die Umkehrung davon gilt jedoch nur, wenn die Anzahl aller Ereignisse höchstens abzählbar unendlich ist. In „überabzählbar unendlichen“ Wahrscheinlichkeitsräumen kann ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten, es heißt dann fast unmöglich, ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1 muss nicht eintreten, es heißt dann fast sicher.

Die Wahrscheinlichkeit kann dabei mathematisch geschrieben bzw. definiert werden. Einige bekannte Definitionen sind:

Diese Definitionen bzw. mathematischen Beschreibungen der Wahrscheinlichkeit dürfen nicht mit den inhaltlichen Deutungen der Wahrscheinlichkeit verwechselt werden, die in der Philosophie oder Physik verwendet werden.

Siehe auch: Wahrscheinlichkeitsmaß, Irrtumswahrscheinlichkeit, Eintrittswahrscheinlichkeit.

Psychologie – Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten

Es wird oft behauptet, der Mensch besitze ein schlechtes Gefühl für die Wahrscheinlichkeit, man spricht in diesem Zusammenhang auch vom „Wahrscheinlichkeitsidioten“ (siehe auch Zahlenanalphabetismus). Dazu folgende Beispiele:

Siehe auch: Ziegenproblem, Gefangenenparadoxon

Philosophie – Verständnisse von Wahrscheinlichkeit

Während über den mathematischen Umgang mit Wahrscheinlichkeiten weitgehend Einigkeit herrscht (siehe Wahrscheinlichkeitstheorie), besteht Uneinigkeit darüber, worauf die Rechenregeln der mathematischen Theorie angewendet werden dürfen. Dies führt zur Frage nach der Interpretation des Begriffs „Wahrscheinlichkeit“.

Häufig wird „Wahrscheinlichkeit“ in zwei verschiedenen Zusammenhängen gebraucht:

  1. Aleatorische Wahrscheinlichkeit (auch: ontische/objektive/statistische Wahrscheinlichkeit) beschreibt die relative Häufigkeit zukünftiger Ereignisse, die von einem zufälligen physikalischen Prozess bestimmt werden. Genauer unterscheidet man deterministische physikalische Prozesse, die mit ausreichend genauer Information im Prinzip vorhersagbar wären (Würfelwurf, Wettervorhersage), und nichtdeterministische Prozesse, die prinzipiell nicht vorhersagbar sind (radioaktiver Zerfall).
  2. Epistemische Wahrscheinlichkeit (auch: subjektive/personelle Wahrscheinlichkeit) beschreibt die Unsicherheit über Aussagen, bei denen kausale Zusammenhänge und Hintergründe nur unvollständig bekannt sind. Diese Aussagen können sich auf vergangene oder zukünftige Ereignisse beziehen. Naturgesetzen werden zum Beispiel gelegentlich epistemische Wahrscheinlichkeiten zugeordnet, ebenso Aussagen in Politik („Die Steuersenkung kommt mit 60 % Wahrscheinlichkeit.“), Wirtschaft oder Rechtsprechung.

Aleatorische und epistemische Wahrscheinlichkeit sind lose mit dem frequentistischen und dem bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff assoziiert.

Es ist eine offene Frage, ob sich aleatorische Wahrscheinlichkeit auf epistemische Wahrscheinlichkeit reduzieren lässt (oder umgekehrt): Erscheint uns die Welt zufällig, weil wir nicht genug über sie wissen, oder gibt es fundamental zufällige Prozesse, wie etwa die objektive Deutung der Quantenmechanik annimmt? Obwohl für beide Standpunkte dieselben mathematischen Regeln zum Umgang mit Wahrscheinlichkeiten gelten, hat die jeweilige Sichtweise wichtige Konsequenzen dafür, welche mathematischen Modelle als gültig angesehen werden.

Siehe auch

 Wiktionary: Wahrscheinlichkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik

Literatur