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Transversalität

In der Differentialtopologie bezeichnet Transversalität einen Begriff, der die gegenseitige Lage zweier Untermannigfaltigkeiten beschreibt. Transversalität beschreibt in gewissem Sinne das Gegenteil von Tangentialität und stellt den „Normalfall“ (siehe Stabilität) dar.

Inhaltsverzeichnis

Definition

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Dies ist äquivalent dazu, dass die natürliche Inklusionsabbildung transversal ist zu Z.

Bemerkungen

Beispiele

Motivation

Die ursprüngliche Motivation für die Definition der Transversalität liegt in der Frage, wann das Urbild einer Untermannigfaltigkeit unter einer differenzierbaren Abbildungen wieder eine Untermannigfaltigkeit (von Y) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn f transversal ist zu Z.

Um dies zu zeigen, schreibt man Z lokal als Niveaumenge einer differenzierbaren Abbildung , also . Die zu erfüllende Bedingung lautet nun: 0 ist regulärer Wert von , das heißt, die Tangentialabbildung ist surjektiv für alle . Durch elementare Umformungen zeigt man, dass diese Bedingung äquivalent ist zu , was der Definition der Transversalität entspricht.

Stabilität

Eine Eigenschaft einer differenzierbarer Abbildungen heißt stabil, wenn für jede differenzierbare Homotopie gilt: Hat diese Eigenschaft, dann existiert ein derart, dass diese Eigenschaft für alle auch besitzt.

Der Stabilitätssatz besagt, dass für differenzierbare Abbildungen die Transversalität zu einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eine stabile Eigenschaft ist, falls X kompakt ist.

Weitere Sätze

Weitere wichtige Sätze diesem Kontext sind der Transversalitätssatz und der Homotopietransversalitätssatz. Sie besagen im Wesentlichen, dass zu jeder differenzierbaren Abbildungen eine homotope Abbildung existiert, welche zu einer vorgegebenen Untermannigfaltigkeit transversal ist und dass transversale Homotopien aus Familien von Abbildungen bestehen, welche für fast alle Parameterwerte transversal sind. Diese Sätze ermöglichen die allgemeine Definition von Schnittzahlen mit Hilfe von Homotopie, da sich diese nur für transversale Schnitte direkt definieren lassen.

Literatur