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Dreieckszahl

Eine Dreieckszahl ist ein Zahl, die der Summe aller Zahlen zwischen 1 und einer Obergrenze n entspricht. Beispielsweise ist die 10 ein Dreieckszahl, da 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ist. Die ersten Dreieckszahlen sind

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (Folge A000217 in OEIS)

Die Bezeichnung Dreieckszahl leitet sich von der geometrischen Figur des Dreiecks her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines gleichseitigen Dreiecks benötigt, entspricht immer einer Dreieckszahl. Aus zehn Steinen lässt sich beispielsweise ein Dreieck legen, bei dem jede Seite von vier Steinen gebildet wird.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Dreieckszahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Kubikzahlen gehören. Schon Pythagoras hat sich mit Dreieckszahlen beschäftigt.[1]

Inhaltsverzeichnis

Berechnung

Die n-te Dreieckszahl ist die Summe der Zahlen von 1 bis n.

Gelegentlich wird per Definition auch die 0 als nullte Dreieckszahl eingeführt. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen .

Anstatt die einzelnen Zahlen zu addieren, können Dreieckszahlen auch durch die gaußsche Summenformel berechnet werden.

Diese Formel ist identisch mit dem Binomialkoeffizienten n + 1 über 2.

Diese Formel lässt sich durch Auslegen der Dreieckszahl veranschaulichen. Die Dreieckzahl lässt sich als Dreieck oder Treppe auslegen. Das Doppelte einer Dreieckszahl entspricht zwei gleichen Treppen, die sich zu einem Rechteck zusammenfügen lassen.

Dieses Rechteck ist n Kugeln hoch und n + 1Kugeln breit und enthält somit Kugeln. Eine Dreieckszahl entspricht der Hälfte der Kugeln, woraus sich die oben genannte Formel für Dreieckszahlen ergibt.

Eigenschaften

Dies lässt sich aus der darüber gehenden Eigenschaft ableiten. Wenn das Quadrat der n-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird, und das Quadrat der (n+1)-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muss als Differenz die (n+1)-te Kubikzahl herauskommen.

6 10
Nach Leonhard Euler lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel darstellen, wobei eine Primzahl sein muss. Wenn man die Formel mit 2 multiplikativ erweitert, und durch substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:

Summe dreier Dreieckszahlen

Pierre de Fermat stellte die Vermutung auf, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellen lässt. Diese Vermutung wurde von Carl Friedrich Gauß bewiesen, der am 10. Juli 1796 den folgenden Eintrag in sein Tagebuch schrieb: [2]

EYPHKA num = Δ + Δ + Δ

Beziehungen zu Quadratzahlen

Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen

Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Dreieckszahlen Δ4 = 10 und Δ5 = 15 zur Quadratzahl 25 addieren.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

Für eine andere Erklärung dieses Phänomens zerlegt man die Dreieckszahl in die Summe von n und der vorhergehenden Dreieckszahl : . Dementsprechend gilt

Dass sich zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu einer Quadratzahl addieren, wurde schon im 2. Jahrhundert vom griechischen Mathematiker Theon von Smyrna in seinem Werk „Das an mathematischem Wissen für die Lektüre Platons Nützliche“ niedergeschrieben.[3]

Alternierende Summe von Quadratzahlen

Nimmt man die Quadratzahl n2 und subtrahiert und addiert abwechselnd die kleineren Quadratzahlen, dann erhält man als Ergebnis die n-te Dreieckszahl. Beispielsweise berechnen sich die vierte und fünfte Dreieckszahl wie folgt:

16 − 9 + 4 − 1 = 10 = Δn
25 − 16 + 9 − 4 + 1 = 15 = Δ5

Indem man sich zunutze macht, dass jede Quadratzahl die Summer zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist, kann man diesen Zusammenhang anhand seiner geometrischen Veranschaulichung erklären.

Man sieht, dass mit Ausnahme des größten jedes Dreieck in der Summe genau zweimal vorkommt: je einmal mit Plus und Minus. Dadurch kürzen sich die kleinen Dreiecke in der Summe und übrig bleibt allein das große Dreieck.

Mit Hilfe des mathematischen Wortschatzes lässt sich obiger Sachverhalt sehr kurz wiedergeben: die n-te Dreieckszahl ist die alternierende Summe der Quadratzahlen von n2 bis 1. Die entsprechende mathematische Formel ist

Quadratzahlen unter den Dreieckszahlen

Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muss für diese Zahl Folgendes gelten: muss eine ungerade Quadratzahl sein und muss das Doppelte einer geraden Quadratzahl sein.

Überlegung

Angenommen, sei das Doppelte einer ungeraden Quadratzahl, und sei eine gerade Quadratzahl. Das führt zu einem Widerspruch, da das Doppelte irgendeiner Quadratzahl eine gerade Zahl ergibt. Eine gerade Zahl plus eins aber muss eine ungerade Zahl ergeben, was sie nach unserer Überlegung aber nicht tut.

Also muss eine ungerade Quadratzahl sein.

Beispiele

Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen

Folgende Dreieckszahlen sind Zahlenpalindrome:

     n        (n*(n+1))/2
----------+------------------
        11|                66
     1.111|           617.716
   111.111|     6.172.882.716
1.1111.111|61.728.399.382.716

Von der 1.111. und der 111.111. Dreieckszahl hat Charles Trigg herausgefunden, dass es sich um Zahlenpalindrome handelt.

Diverses

Verallgemeinerungen

Allgemein sind Dreieckszahlen Polygonale Zahlen und daher auch Figurierte Zahlen.

Höhere Dimensionen

Bei den Dreieckszahlen handelt es sich um zweidimensionale Gebilde. Das Bildungsgesetz lässt sich auf die räumlichen Erweiterungen der Dimension verallgemeinern:

Alle Zahlen des Pascalschen Dreiecks sind Dreieckszahlen und ihre räumlichen Erweiterungen.

Beispiel

Die räumliche Erweiterung der Dreieckszahl in die dritte Dimension ist die Tetraederzahl.

Eingesetzt in die Formel ergibt sich für die vierte Dimension (d=4):

Literatur

Einzelnachweise

  1. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume II: Diophantine Analysis. Dover Publications, ISBN 0-486-44233-0, S. 1
  2. Hubert Mania: Gauß. Eine Biographie. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2008, ISBN 978-3-498-04506-7, S. 108
  3. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume II: Diophantine Analysis. Dover Publications, ISBN 0-486-44233-0, S. 2