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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit (auch konditionale Wahrscheinlichkeit) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B bereits vorher eingetreten ist. Es wird geschrieben als P(A | B), der senkrechte Strich ist als "unter der Voraussetzung" zu lesen und wie folgt zu verstehen: Wenn das Ereignis B eingetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A gegeben durch P(A | B), es handelt sich also nicht um eine (logische) Bedingung für A. Manchmal wird auch die Schreibweise PB(A) verwendet, die jedoch auch andere Bedeutungen haben kann.

Für einen verallgemeinerten, abstrakten Begriff von bedingten Wahrscheinlichkeiten siehe Bedingter Erwartungswert.

Inhaltsverzeichnis

Zwei Ereignisse

Wenn A und B beliebige Ereignisse sind, und P(B) > 0 ist, dann gilt

Es ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit (oder Verbundwahrscheinlichkeit), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam auftreten. Die Verbundwahrscheinlichkeit wird teilweise auch einfach P(A,B) geschrieben. Es gilt durch Umformen natürlich auch:

Wenn A und B jedoch stochastisch unabhängig sind, dann gilt

Sind nur bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignisses bekannt, ergibt sich die totale Wahrscheinlichkeit von A aus:

wobei das Komplement von B bezeichnet.

n Ereignisse

Man betrachte dazu den multivariaten Fall mit mehr als zwei Zufallsereignissen:

.

Verallgemeinert man den obigen Ausdruck, der für zwei Variablen gilt, erhält man den allgemeinen Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten:

.

Besonders anschaulich ist hier das Rechnen mit einem Entscheidungsbaum, da hier das Diagramm gleichsam "mitrechnet": die Daten sind leicht einzusetzen, und man wird sequentiell an den richtigen Rechengang heran geführt.

Beispiele findet man im Artikel Bayes-Theorem.

Stetige Zufallsvariable

Für zwei Zufallsvariablen X, Y mit gemeinsamer Dichte fX,Y ist eine Dichte fY von Y gegeben durch . Falls fY(y) > 0, kann man eine bedingte Dichte fX | Y von X, gegeben Y, definieren durch

.

Eine Dichte von X erhält man dann aus der Formel

.

Mit dieser Form des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich aus der gemeinsamen Dichte fX,Y durch Integration über y die Dichte fX unabhängig von Y bestimmen. Dieser Vorgang wird als Marginalisierung bezeichnet.

Hierbei ist zu beachten, dass standardmäßig Dichten, die die gleichen Integralwerte liefern, dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung repräsentieren. Dichten sind daher nicht eindeutig festgelegt. Eine zulässige Wahl für fX,Y, fX, und fY ist jede messbare Funktion, die im Integral die korrekten Wahrscheinlichkeiten für , bzw. für beliebige A, B ergibt. Von der Funktion fX | Y wird verlangt, dass sie die Bedingung

erfüllt. Die oben angegebenen Formeln gelten somit nur bei passender Wahl der verschiedenen Dichten.

Beispiele

Junge oder Mädchen

Eine Mutter hat zwei Kinder und wird nach dem Geschlecht der Kinder gefragt. Fall 1 dient Vergleichszwecken und basiert nicht auf bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Fall 1: Wenn das erste Kind ein Mädchen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das zweite Kind ein Mädchen ist? Die Antwort ist 1/2.
Fall 2: Wenn wenigstens eines der Kinder ein Mädchen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist? Die Antwort ist 1/3.

Das zunächst überraschende Ergebnis lässt sich mit der folgenden Tabelle bestimmen. Die ersten beiden Spalten zeigen, welche Möglichkeiten bei zwei Kindern bestehen: Das Erstgeborene kann ein Junge oder ein Mädchen sein, das Zweitgeborene kann ebenfalls ein Junge oder ein Mädchen sein, insgesamt gibt es bei den Geschlechtern vier Kombinationen.

Spalte 3 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 1, davon ausgeht, dass das erste Kind ein Mädchen sein muss – die Zeilen 1 und 2 sind dann nicht möglich.

Spalte 4 zeigt die Möglichkeiten, wenn man, wie in Fall 2, davon ausgeht, dass wenigstens eines der beiden Kinder ein Mädchen ist.

1. Kind 2. Kind Lösung zu Fall 1:
Zweites Kind ist...
Lösung für Fall 2:
Anderes Kind ist...
1 Junge Junge (geht nicht) (geht nicht)
2 Junge Mädchen (geht nicht) Junge
3 Mädchen Junge Junge Junge
4 Mädchen Mädchen Mädchen Mädchen

Einfaches Abzählen zeigt, dass in Fall 1 eine von zwei Möglichkeiten auf ein Mädchen, aber in Fall 2 nur eine von drei Möglichkeiten auf ein Mädchen hinweist.

Dieses Ergebnis lässt sich im Fall 2 auch mit der obigen Formel ermitteln. Hier lautet das Ereignis A: "Das andere Kind ist ein Mädchen". Das Ereignis B, welches die Bedingung darstellt, unter der das Ereignis A betrachtet werden soll, ist: "Mindestens ein Kind ist ein Mädchen.". Das Verbundereignis A∩B, nämlich der Fall, daß beide Ereignisse gemeinsam auftreten, heißt: "Das andere Kind ist (auch) ein Mädchen und mindestens ein Kind ist ein Mädchen", mit anderen Worten: Beide Kinder sind Mädchen.

Die Wahrscheinlichkeit für das Verbundereignis A∩B beträgt 1/4. Das bedingende Ereignis B hat die Wahrscheinlichkeit 3/4. Als Quotient ergibt sich der oben bereits durch Auszählen erhaltene Wert von 1/3 für das bedingte Ereignis.

Weitere Beispiele

Siehe auch

 Wikibooks: Bedingte Wahrscheinlichkeiten – Lern- und Lehrmaterialien
 Wikibooks: Bedingte Wahrscheinlichkeit (Variante für Schüler) – Lern- und Lehrmaterialien