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Verallgemeinerte Kettenregel

Die verallgemeinerte Kettenregel ist eine Verallgemeinerung der Kettenregel in der mehrdimensionalen Analysis.

Inhaltsverzeichnis

Satz

Sind und differenzierbar, so gilt für ihre Totalableitungen

Dabei bezeichnet der Punkt auf der rechten Seite das Produkt von Matrizen oder die Verkettung linearer Abbildungen.

Spezialfall k = n = 1

Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen "Umweg" definiert ist: ist differenzierbar, so ist beispielsweise

eine reelle Funktion, deren Ableitung sich aber nicht mit der eindimensionalen Kettenregel berechnen lässt.

Die Ableitung einer derartigen Funktion an einer Stelle t0 kann dann wie folgt ermittelt werden:

Sei D eine offene Teilmenge des und f = f(x1,x2,...,xn) mit der differenzierbaren Funktion an der Stelle t = t0 und f an der Stelle x0 = x(t0) nach allen xi partiell differenzierbar, so besitzt die mittelbare Funktion g(t) = f(x(t)) = f(x1(t),x2(t),...,xn(t)) an der Stelle t0 die Ableitung:

oder kurz

.

Beispiel

g(t) = f(cost,sint)

In diesem Beispiel bildet f die äußere Funktion, abhängig von x = (x1,x2). Somit ist

und als innere Funktion setzen wir mit , abhängig von der reellen Variablen t. Ableiten ergibt

Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:

Ein additives Beispiel mittels Substitution

Die Frage wie man die Ableitung von bestimmt, wird meist mit einem bekannten "Trick" beantwortet, dies als zu schreiben und dann mittels Produkt- und Kettenregel auszuwerten. Es ergibt .

Eine weniger trickreiche, unmotivierte oder spezielle Methode zur Lösung, ist die folgende mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel:

Sei . Dann ist und .

Mit , wobei erhält man

.

In Worten:

1. Man leitet xx 'nach dem x in der Basis ab', wobei man das x im Exponenten wie eine Konstante betrachtet,

2. man leitet xx 'nach dem x im Exponenten ab', wobei man das x in der Basis wie eine Konstante betrachtet,

3. man addiert die Ergebnisse.

Der "Trick" hierbei ist, dass man x in der Basis und x im Exponenten, obwohl sie gleichlauten, unterscheidet.

Es ist eine Folgerung aus der verallgemeinerten Kettenregel, dass diese erstaunlich einfache Prozedur korrekt ist.

Diese Herleitung enthält mehr Einsicht, warum das Ergebnis so ist, wie es ist, als der "Trick" mit der Exponentialfunktion. Außerdem ist diese Herleitung allgemeiner anwendbar, z.B. liefert sie ganz einfach auch die Leibnizregel für Parameterintegrale.