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Reelle Zahl

Die Menge der reellen Zahlen ist heute der für Anwendungen der Mathematik wichtigste Zahlbereich: Eine Vielzahl von (berechneten) physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse können mit reellen Zahlen als Maßzahl angegeben werden. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet.

Reelle Zahlen sind eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen. Diese Erweiterung ist nötig, weil die rationalen Zahlen für manche Längen keine Maßzahl bereitstellen, zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 oder für die Teilstrecken in einem Pentagramm mit der Seitenlänge 1. Schon die Pythagoräer erkannten deshalb die Notwendigkeit, den engen Zahlbegriff der Längenverhältnisse (wie er durch die rationalen Zahlen beschrieben wird) zu erweitern. Die moderne Mathematik hat dies mit der Erweiterung zum Bereich der reellen Zahlen geleistet, wodurch der Grenzwertbegriff und damit die Analysis ein festes Fundament erhalten haben.

Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol (auch , Unicode ℝ) verwendet. Diese werden unterschieden in:

Darstellen lassen sich reelle Zahlen beispielsweise als (unendliche oder abbrechende) Dezimalzahlen.

Inhaltsverzeichnis

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie -1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, -2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie reell, aber nicht rational ist. Die ersten Beweise, dass die Zahlengerade irrationale Zahlen enthält, wurden von den Pythagoräern geführt.

Irrationale Zahlen sind beispielsweise:

Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d. h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche reellen Wurzelausdrücke, aber nicht nur diese (z. B. Lösungen geeigneter Gleichungen 5. Grades). Ihr Komplement ist die Menge der (reellen) transzendenten Zahlen.

Konstruktion von R aus Q

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen war im 19. Jahrhundert ein wichtiger Schritt, um die Analysis auf ein solides mathematisches Fundament zu stellen. Die erste exakte Konstruktion geht wohl auf Karl Weierstraß zurück, der die reellen Zahlen über beschränkte Reihen mit positiven Gliedern definierte.[1]

Heute gebräuchliche Konstruktionen der reellen Zahlen:

Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt bilden die reellen Zahlen damit einen geordneten Körper.

Die drei genannten Konstruktionsmethoden führen zur (bis auf Isomorphie) gleichen Struktur, dem Körper der reellen Zahlen. Jede der Methoden beleuchtet eine andere Eigenschaft der rationalen und reellen Zahlen und ihrer Beziehung zueinander:

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen wird in der Literatur oft in vier Schritten vorgenommen: Von der Mengenlehre über die natürlichen, die ganzen, die rationalen schließlich zu den reellen Zahlen wie oben beschrieben. Eine direkte Möglichkeit, die reellen Zahlen mathematisch zu erfassen, ist, sie durch Axiome zu beschreiben. Dazu benötigt man drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.

  1. Die reellen Zahlen sind ein Körper
  2. Die reellen Zahlen sind total geordnet (siehe auch geordneter Körper), d. h. für alle reellen Zahlen a,b,c gilt:
    1. es gilt genau eine der Beziehungen a < b,a = b,b < a (Trichotomie)
    2. aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
    3. aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition)
    4. aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
  3. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von besitzt ein Supremum in

Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charakterisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d. h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:

Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:

Durch beide Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Wenn man die reellen Zahlen axiomatisch einführt, dann ist die Konstruktion als Zahlbereichserweiterung ihr „Existenzbeweis“, genauer: Die Konstruktion in vier Schritten aus der Mengenlehre beweist, dass ein Modell für die durch die Axiome beschriebene Struktur in der Mengenlehre, von der die Konstruktion ausging, vorhanden ist.

Mächtigkeiten

Die Mächtigkeit von wird mit (Mächtigkeit des „Continuums“) oder mit (Aleph) (ohne Index!) bezeichnet. Sie ist größer als die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen, die als kleinste unendliche Mächtigkeit heißt. Die Menge der reellen Zahlen ist deshalb überabzählbar. Ein Beweis für ihre Überabzählbarkeit ist Cantors zweites Diagonalargument. Informell bedeutet „Überabzählbarkeit“, dass jede Liste reeller Zahlen unvollständig ist.

Übliche, weniger umfassende Erweiterungen der Menge der natürlichen Zahlen sind gleichmächtig mit den natürlichen Zahlen, also abzählbar: die Menge der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und auch der algebraischen Zahlen. Einen Beweis ihrer Abzählbarkeit liefert Cantors erstes Diagonalargument. Die Überabzählbarkeit entsteht also erst durch die Hinzunahme der transzendenten Zahlen.

In der Mengenlehre wurde nach Cantors Entdeckungen die Frage untersucht: "Gibt es eine Mächtigkeit zwischen „abzählbar“ und der Mächtigkeit der reellen Zahlen, zwischen und ?" – Oder, für die reellen Zahlen formuliert: "Ist jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gleichmächtig wie die Menge aller reellen Zahlen?" Die Vermutung, dass die Antwort auf die erste Frage „Nein!“ und auf die zweite Frage „Ja“ lautet, wird als Kontinuumhypothese (CH) bezeichnet, kurz formuliert als „“. Es konnte gezeigt werden, dass die Kontinuumhypothese unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) ist, d.h. sie kann im Rahmen dieser Systeme weder bewiesen noch widerlegt werden.

Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen

Die übliche Topologie, mit der die reellen Zahlen versehen werden, ist diejenige, die aus der Basis der offenen Intervalle , erzeugt wird. In dieser Form geschrieben handelt es sich um die Ordnungstopologie. Offene Intervalle in den reellen Zahlen lassen sich aber auch durch Mittelpunkt und „Radius“ darstellen: ]pr,p + r[, also als offene Bälle bezüglich der durch die Betragsfunktion definierten Metrik d(x,y): = | xy | . Die von den offenen Intervallen erzeugte Topologie ist also gleichzeitig die Topologie dieses metrischen Raums. Da die rationalen Zahlen in dieser Topologie dicht liegen, reicht es, sich auf rationale a,b bzw. p,r zu beschränken, die Topologie genügt daher beiden Abzählbarkeitsaxiomen.

Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen sind die reellen Zahlen ein lokalkompakter Raum, zu jeder reellen Zahl x lässt sich also eine offene Umgebung angeben, deren Abschluss kompakt ist. Solch eine offene Umgebung ist einfach zu finden; jede beschränkte, offene Menge U mit , leistet das Gewünschte: nach dem Satz von Heine-Borel ist kompakt.

Der reelle Zahlenkörper ist nur lokalkompakt, nicht aber kompakt. Eine verbreitete Kompaktifizierung sind die sogenannten erweiterten reellen Zahlen , wobei die Umgebungen von durch die Umgebungsbasis mit und die Umgebungen von durch die Umgebungsbasis mit definiert werden. Diese Topologie genügt weiterhin beiden Abzählbarkeitsaxiomen. ist homöomorph zum abgeschlossenen Intervall [0,1], beispielsweise ist die Abbildung ein Homöomorphismus , und alle kompakten Intervalle sind mittels affin-linearer Funktionen homöomorph. Bestimmt divergente Folgen sind in der Topologie der erweiterten reellen Zahlen konvergent, beispielsweise ist die Aussage

in dieser Topologie ein echter Grenzwert.

Mit für alle sind die erweiterten reellen Zahlen weiterhin total geordnet; es ist allerdings nicht möglich, die Körperstruktur der reellen Zahlen auf die erweiterten reellen Zahlen zu übertragen, beispielsweise hat die Gleichung keine eindeutige Lösung.

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Literatur

Quellen

  1. Georg Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (1883), §9, zitiert nach Oskar Becker, Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1. Auflage 1995, ISBN 3-518-27714-6, S 245ff.
  2. Edmund Landau: Grundlagen der Analysis Chelsea Publ. New York 1948
  3. Georg Cantor Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (1883), §9, zitiert nach Oskar Becker, Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1. Auflage 1995, ISBN 3-518-27714-6, S 248.
  4. Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. §3 Die irrationalen Zahlen.

Links

 Wikibooks: Analysis - Reelle Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien