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Logarithmus

Der Logarithmus (gr. λόγος lógos „Verständnis“, αριθμός arithmós „Zahl“) gehört zu den elementaren mathematischen Funktionen.

Logarithmieren zu einem Exponenten entspricht der Suche nach dem Exponenten (der Hochzahl) bei einer festen Basis. Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion (hier ist nicht notwendigerweise die natürliche Exponentialfunktion ex gemeint, deren Umkehrung speziell der natürliche Logarithmus ln(x) (logarithmus naturalis) ist). Da die Werte der Exponentialfunktion immer positiv sind, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.

Sind beispielsweise zwei positive reelle Zahlen a und b mit gegeben und soll a in der Gestalt

a = bx

dargestellt werden, dann ist x der Logarithmus von a zur Basis b und man schreibt

x = logba.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Indische Mathematiker im 2. Jahrhundert v. Chr. haben als Erste Logarithmen erwähnt. Schon in der Antike nutzten sie Logarithmen für ihre Berechnungen zur Basis der Zahl Zwei. Im 8. Jahrhundert beschrieb Virasena (Indischer Mathematiker) Logarithmen zur Basis Drei und Vier. Ab dem 13. Jahrhundert wurden dann ganze logarithmische Tabellenwerke von muslimischen Mathematikern erstellt.

Der deutsche Mathematiker Michael Stifel formulierte im Jahr 1544 folgende Beziehungen: qmqn = qm + n und . Diese Erkenntnis ist der Schlüssel zu den Logarithmen. Stifel ließ nur ganzzahlige Exponenten zu. Napiers Idee war dagegen einen stetigen Wertebereich für die Exponenten zuzulassen.

Im 17. Jahrhundert entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi (1558–1632) das erste bekannte System zur Berechnung von Logarithmen. Veröffentlicht hat er dieses aber erst 1620. Schon vorher, im Jahre 1614, veröffentlichte der schottische Denker John Napier (1550–1617) ein Buch über Logarithmen, das ihn als „Erfinder der Logarithmen“ berühmt machte. Ihre Arbeiten und Erkenntnisse über Logarithmen entwickelten Jost Bürgi und John Napier jedoch unabhängig voneinander.

Das griechische Wort „Logarithmus“ bedeutet auf Deutsch „Verhältniszahl“ und stammt von Napier. Erstmals veröffentlicht wurden Logarithmen von diesem unter dem Titel Mirifici logarithmorum canonis descriptio, was mit Beschreibung des wunderbaren Kanons der Logarithmen übersetzt werden kann.

Nachdem sich der Oxforder Professor Henry Briggs (1561–1630) intensiv mit dieser Schrift beschäftigte, nahm er mit deren Autor Kontakt auf und schlug vor, für die Logarithmen die Basis 10 zu verwenden. Diese verbreiteten sich schnell und wurden besonders in der Astronomie geschätzt, was auch Pierre-Simon Laplace feststellte:

„Durch die Arbeitserleichterung infolge der Verwendung von Logarithmen wird das Leben der Astronomen verdoppelt.“

Heute wird die Eulersche Zahl e als Basis der Exponentendefinition des natürlichen Logarithmus verwendet, welche im Jahre 1728 von Leonhard Euler (1707–1783) bestimmt und erstmals 1742 veröffentlicht wurde.

Mit den Logarithmen war die mathematische Grundlage für die Weiterentwicklung des mechanischen Rechenschiebers gelegt; denn die Funktionsweise des Rechenschiebers basiert auf dem Prinzip der Addition und Subtraktion von Logarithmen.

Logarithmus in Anwendung und Natur

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst sind logarithmisch, wie zum Beispiel beim pH-Wert oder dem Dezibel.

Rechenschieber
Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man die Logarithmengesetze aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Und die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch Zwei. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber mit ihren logarithmischen Skaleneinteilungen und Logarithmentafeln weit verbreitete Hilfsmittel.
In der belebten Natur
finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B. das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
Anzahl der Ziffern einer Zahl
Berechnung der Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer natürlichen Zahl in einem Stellenwertsystem benötigt werden. Um eine natürliche Zahl n zur Basis b darzustellen, werden Stellen benötigt. Die Klammern bedeuten dabei Abrunden auf die nächste ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Zum Beispiel ist . Die obige Formel liefert den Wert 7. Man braucht also 7 Ziffern, um 100 im Binärsystem darzustellen, nämlich 100 = 11001002. Stellt man hingegen 100 im Hexadezimalsystem dar, dann benötigt man dazu zwei Stellen, denn . Es ist 100 = 6416.
Benfordsches Gesetz
Die Verteilung der Ziffern von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern, folgt einer logarithmischen Verteilung, dem Benfordschen Gesetz.
Informationseinheit
Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass, wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit p auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von bit ergibt. Zum Beispiel erhält man beim Ergebnis „Kopf“ eines fairen Münzwurfs (p = 0,5) die Informationsmenge log22 = 1 bit, und es genügt ein Bit, um diese Information zu codieren.
Kryptographie
Der diskrete Logarithmus (erklärt für endliche Zahlenkörper) ist erheblich aufwändiger zu berechnen als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion, und hilft als sog. Einwegfunktion in der Kryptografie Daten zu verschlüsseln.
pH-Wert
Der Säurewert von Lösungen. Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert.
Dezibel (dB)
Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung, etc.
Die Empfindlichkeit der Sinnesorgane
folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
Sternhelligkeiten
werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
Logarithmische Zeitskalen
finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
Zur graphischen Darstellung von Funktionen
werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.
Lösung von typischen Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen
auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden. Siehe Exponentieller Vorgang, Absorption.

Bezeichnungen

Man schreibt:

und sagt: „x ist der Logarithmus von a zur Basis b“ oder auch „x ist der Logarithmus zur Basis b aus a“. a heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.[1] Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten x man die Basis b potenzieren muss, um den Logarithmanden (Numerus) a zu erhalten. Das setzt voraus, dass das Potenzieren mit beliebigen reellen Exponenten schon erklärt ist (was auf verschiedene Weise geht, aber ohne vorherige Kenntnis des Logarithmus nicht ganz einfach ist).

Das Formelzeichen für den Logarithmus ist log. Die Basis wird als Index angehängt. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, wie zum Beispiel bloga, oder die Basis wird nicht mitnotiert, wenn sie aus dem Zusammenhang ersichtlich ist und keine Verwechslungsgefahr besteht.

Für die Vorkommastellen des Logarithmus wird teilweise der Begriff Kennzahl verwendet, und seine Nachkommastellen werden Mantisse genannt.

Logarithmus zur Basis b
logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der eulerschen Zahl 2,7182818284590452…
Logarithmus zur Basis 10, auch bezeichnet als Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus oder Briggsscher Logarithmus. Nützlich wegen des Zehnersystems.
logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder dyadischer oder binärer Logarithmus bezeichnet (manchmal auch mit der Abkürzung ); wird in der Informatik aufgrund des Binärsystems verwendet.
Das Symbol log ohne eine angegebene Basis wird verwendet, wenn diese aus dem Zusammenhang ersichtlich oder aufgrund einer Konvention festgelegt ist. In technischen Anwendungen (so z. B. auf den meisten Taschenrechnern) steht log meist für den dekadischen Logarithmus, in der Informatik für den dyadischen Logarithmus. Mathematiker und Physiker verwenden log meist für den natürlichen Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt.

Ein ähnliches Formelsymbol ist für den Integrallogarithmus. Bei dieser Funktion handelt es sich nicht um eine Logarithmusfunktion.

Definition

Der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen kann auf verschiedene Art und Weisen eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen Zugang wählen.

Die einzelnen Definitionen sind untereinander äquivalent und erfolgen mit besonderem Fokus auf den natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Art auftritt, wie bei dem Zugang über die Funktionalgleichung oder über die Stammfunktion von 1 / t erkennbar wird.

Als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis b:

Die Funktionen bx und logbx sind also Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

Der natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis b = e, wobei die eulersche Zahl ist.

Als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen L der Funktionalgleichung

Diese Lösungen erweisen sich sogar als differenzierbar. Den natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung

L'(1) = 1.

Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis b über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man

fordern und würde wieder den natürlichen Logarithmus benötigen.

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die Nullfunktion L(x) = 0, welche nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird.

Als Stammfunktion von 1/t

Die Funktion

mit x > 0 ist gerade der natürliche Logarithmus: Es ist L = ln. Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = lnb.

Als Potenzreihe

Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß

eingeführt werden. Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung

erhält man den natürlichen Logarithmus auf den positiven reellen Zahlen.

Anmerkung

Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. B. auf den komplexen Zahlen. Das setzt voraus, dass in der betreffenden Struktur die zur Definition verwendeten Konzepte existieren.

Um etwa den diskreten Logarithmus auf einer Gruppe zu definieren, können Konzepte wie Differentiation/Integration sowie Multiplikation/Division nicht herangezogen werden, weil sie dort gar nicht existieren. (In einer Gruppe gibt es eine Verknüpfung und nicht zwei, die zudem noch durch ein Distributivgesetz miteinander verknüpft sind).

Rechenregeln und grundlegende Eigenschaften

Logarithmengesetze

Im Folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die Variablen x,y,xi,r,a,b von Null verschieden sind; im Falle des reellen Logarithmus werden die Zahlen sogar als positiv vorausgesetzt.

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

zur Verfügung; oder allgemeiner:

bzw.

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers x minus den Logarithmus des Nenners y.

Summen und Differenzen

Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie x + y hergeleitet werden, indem x ausgeklammert wird:

Damit ergeben sich die Regeln

oder allgemeiner

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent r gilt die Regel

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Daraus lässt sich für r = − 1

ermitteln.

Der Logarithmus eines Stammbruchs 1 / x ist der negative Logarithmus des Nenners x.

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis b mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis a zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

denn es gelten mit die Umformungen

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel:

Alternative mit Hilfe des natürlichen Logarithmus:

Null und die negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Ableitung und Integral

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort).

Es ergibt sich

Für allgemeine Logarithmen gilt:

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden.

Beispiel:

da

Kurvendiskussion

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder oft auch „log“ (ohne Subskript) abgekürzt:

Wenn y = ex, dann ist x = loge(y) = ln(y).

Die Zahl e ist z. B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion ex sich bei Ableitung nach x wieder selbst reproduziert, als Formel:

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus von x, also F(x) = ln(x) ist eine Stammfunktion der Potenzfunktion .

Berechnung des Logarithmus

Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

mit der Restgliedabschätzung

Die Reihe zeigt für x und 1 / x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert umso besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für 2 mx berechnet. Allerdings muss man zusätzlich noch eine Näherung für berechnen, was über die gleiche Reihe erfolgt.

Wenn man aus obiger Formel die Restgliedabschätzung entfernt, erhält man:

Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem

sowie gleichbedeutend damit

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht gut geeignet.

Berechnung einzelner Binärziffern

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Logarithmus besteht darin, nacheinander die Ziffern der Binärdarstellung des Logarithmus zur Basis 2 zu bestimmen. Dieses Verfahren ist besonders einfach auf Rechenwerken zu implementieren, da es aufwändige Divisionen vermeidet und auch leicht in Festkomma-Arithmetik umsetzbar ist.

Zunächst werden die Vorkommastellen des Zweierlogarithmus (immer im 2er-System) durch Abzählen der Vorkommastellen der Zahl x bestimmt, und die Zahl x durch Schieben auf Werte zwischen 1 und 2 normiert.

Der Logarithmus von x hat danach die Darstellung

Quadrieren von x schiebt den Logarithmus also um eine Binärstelle nach links, wodurch die Vorkommastelle möglicherweise Eins wird. Dies ist dann der Fall, wenn x2 ≥ 2 ist. In diesem Falle wird x durch Division durch 2 wieder normiert, was keinen Einfluss auf die verbleibenden Stellen hat. Damit ergibt sich die folgende Skizze des Verfahrens:

INPUT  1 ≤ x < 2
OUTPUT Nachkommastellen bi der Binärdarstellung von log2(x)

i ← 0
LOOP
   i ← i + 1
   x ← x2
   IF x ≥ 2 THEN 
      x ← x / 2
      bi ← 1
   ELSE
      bi ← 0
   END IF
END LOOP

Komplexer Logarithmus

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl w, die die Gleichung

ew = z

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da

gilt. Hat man also einen Logarithmus w0 von z gefunden, so ist auch

w = w0 + 2kπi

ein Logarithmus von z, da gilt:

Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man w auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z. B. den Streifen

verwenden. Ein w aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt w = lnz. Stellt man z in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:

Für k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

lnz = ln | z | + iargz

ln ist nicht stetig auf . Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln auf dem Gebiet

stetig und sogar holomorph. Allgemeiner gilt dies für alle einfach zusammenhängenden, offenen Teilmengen von .

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo i. Es gilt dann beispielsweise nicht notwendig

wegen

Und auch die Gleichung

ist nicht notwendig erfüllt, was durch das Gegenbeispiel

verdeutlicht wird.

Diskrete Logarithmen

Diskrete Logarithmen sind Lösungen von ganzzahligen Gleichungen der Form: . Sie sind aufwändig zu berechnen und finden Anwendung in der Kryptographie.

Literatur

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5