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Monotonie (Mathematik)

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt. Ändern sich die Werte der Funktion oder die Glieder der Folge nicht, heißt sie konstant.

Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, aber nicht konstant sind.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Die Folge

1,3,5,7,9,11,...

ist streng monoton steigend.

Die Folge

1,3,3,5,6,8,8,9,1000,1200

ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).

Die Folge

2,2,2,2,2,2,2,...

ist konstant.

Die Funktion

y = x3

ist über den gesamten Wertebereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.

Die Funktion

y = x2

ist im Bereich von minus unendlich bis Null (einschließlich) streng monoton fallend. Im Bereich von Null (einschließlich) bis plus unendlich ist sie streng monoton steigend.

Definitionen

Sei eine Funktion. Auf und sei jeweils eine Ordnungsrelation definiert. Dann heißt die Funktion monoton steigend, wenn:

für alle .


Gilt anstelle von sogar , so heißt die Funktion streng monoton steigend. Entsprechend gilt natürlich für bzw. monoton fallend bzw. streng monoton fallend.


Eine Folge heißt monoton steigend, wenn für alle gilt: .

Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn für alle gilt: .

Weitere Eigenschaften

Für eine reelle monotone Funktion f gilt:

Monotonie differenzierbarer reeller Funktionen

Umkehrfunktion

Sei ein Intervall und sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist

Monotoniegesetze

Für gilt: