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Cantors zweites Diagonalargument

Cantors zweites Diagonalargument ist ein mathematischer Beweis dafür, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, und allgemeiner, dass die Potenzmenge einer Menge mächtiger als diese Menge ist. Der Mathematiker Georg Cantor fand diesen Beweis im Jahr 1877 und gab die Verallgemeinerung 1899 an.[1]

Mit seinem ersten Diagonalargument zeigte Cantor, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, er gab eine umkehrbar eindeutige Abbildung (eine Bijektion) zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen an. Diese Abbildung erlaubt es anschaulich, alle rationalen Zahlen in eine unendlich lange Liste (eine Folge) untereinander zu schreiben.

Durch Widerspruch zeigte er, dass es für die reellen Zahlen keine solche Liste gibt, d.h. keine Bijektion zu den natürlichen Zahlen.

Im Gegensatz zur allgemeinen Meinung ist dieser Beweis nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus.

Inhaltsverzeichnis

Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Sei (zi) irgendeine Folge reeller Zahlen im halboffenen Intervall [0,1[. Wir werden zeigen, dass es mindestens eine reelle Zahl in diesem Intervall gibt, die nicht in der Folge (zi) vorkommt. Da diese Argumentation für jede beliebige Folge (zi) gilt, kann es keine Folge geben, die alle reellen Zahlen im Intervall [0,1[ enthält.

Die Zahlen in dieser als gegeben vorausgesetzten Folge sehen in ihrer Dezimalbruch-Entwicklung so aus:

Hier sind die zi reelle Zahlen und die aij Dezimalstellen dieser reellen Zahlen. Die Diagonalelemente sind hervorgehoben, aus diesen konstruieren wir eine neue Zahl

Jede Zahl zi der Folge definiert auf folgende Weise eine Dezimalstelle xi von x.

Wenn a11 = 5 ist, setzen wir x1 = 4, sonst x1 = 5. Mit dieser Definition ist sichergestellt, dass x eine andere Zahl ist als z1.
Wenn a22 = 5 ist, setzen wir x2 = 4, sonst x2 = 5. Damit .

Allgemein legen wir für jede natürliche Zahl i fest:

Wenn aii = 5 ist, setzen wir xi = 4, sonst xi = 5. Damit .

So gehen wir durch die ganze Folge und erhalten eine Zahl x, die sich von allen Zahlen in der Folge unterscheidet, und die größer als 0 und kleiner als 1 ist. Diese Zahl nennt man die Diagonalzahl, die der Folge (zi) zugeordnet wird.

Die Folge (zi) enthält also nicht alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Wählt man eine andere Folge, erhält man möglicherweise eine andere Diagonalzahl, aber wir haben bewiesen: Für jede Folge von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es eine Zahl zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Folge enthalten ist. Deshalb enthält keine Folge alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das Intervall [0,1[ ist deshalb überabzählbar. Damit ist auch ganz überabzählbar.

Strenggenommen ist der Beweis noch dadurch zu komplettieren, dass man die Teilmengenbeziehung erwähnt; zusammen mit der Nichtexistenz einer Bijektion von nach erhält man, dass eine größere Mächtigkeit als hat, also überabzählbar ist.

Bei diesem Beweis ist es egal, welches der Intervalle [0,1[, [0,1], ]0,1] oder ]0,1[ man verwendet, da durch die Regel eine Diagonalzahl x mit 0 < x < 1 erzeugt wird, die in jedem dieser Intervalle enthalten ist.

Verallgemeinerung: Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge

Sei eine beliebige Menge (also nicht notwengigerweise ) und sei die Potenzmenge von . Mit einer allgemeineren Form des obigen Beweises zeigte Cantor, dass mächtiger als ist. Genauer: Es gibt keine surjektive Abbildung von auf .

Sei nämlich eine beliebige Abbildung, d.h. zu jedem liefert f eine Teilmenge . Definiere die Menge

.

Angenommen, es gibt ein Element mit . Dann gilt

nach Definition von . Aber wegen der Annahme bedeutet dies

Dies ist ein Widerspruch, so dass die Annahme falsch gewesen sein muss. Insbesondere gibt es dann keine surjektive Abbildung von auf , was zu zeigen war.

Eine injektive Abbildung kann man dagegen übrigens leicht angeben, etwa .

Den Zusammenhang zum Beweis von kann man – ungefähr – erkennen, wenn man Teilmengen als Folge von 0en und 1en schreibt (für bzw. ) und diese als Ziffernentwicklung interpretiert. Dann entspricht der Diagonalzahl.

Standpunkt der Konstruktivisten

Auf Kritik gestoßen ist Cantors Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch das zweite Diagonalverfahren bei Leopold Kronecker, Hermann Weyl , L.E.J. Brouwer, Henri Poincaré und Ludwig Wittgenstein. Konstruktivisten deuten das Cantorsche Diagonalverfahren anders als Cantor. Es wird selbst als Zahlenkonstruktionsverfahren verstanden. Die durch das Verfahren entdeckte Eigenschaft wird von konstruktiven Mathematikern als Offenheit (Paul Lorenzen) oder als Indefinitheit (Christian Thiel) der Mengen reeller Zahlen angesehen und nicht als die Überabzählbarkeit einer Menge.

Einzelnachweise

  1. Herbert Meschkowsky: Georg Cantor, Leben Werk und Wirkung, Mannheim, Wien, Zürich, 1983, S. 85f