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Konsistenz (Mathematik)

In der numerischen Mathematik ist Konsistenz eine Eigenschaft eines numerischen Verfahrens, die bedeutet, dass der Algorithmus in einer gewissen grundlegenden Weise tatsächlich das gegebene Problem löst und nicht ein anderes.

Die drei in der Numerik entscheidenden Fehlerbewertungsmechanismen sind Kondition, Stabilität und Konsistenz. Alle drei Größen analysieren die Entstehung von Fehlern, unterscheiden sich aber in der "Auswahl" der Fehlerquellen. Die Konditionsbewertung geht davon aus, dass der Algorithmus genau funktioniert, jedoch die Eingabedaten gestört sind. Die Stabilität vergleicht das Ergebnis des numerischen Verfahrens mit dem des exakten Verfahrens unter gestörten Eingabedaten.

Die Konsistenz beschäftigt sich nun mit der Frage was passiert, wenn die exakte Lösung im numerischen Verfahren verarbeitet wird. Die aufgeführten Beispiele sind numerische Differentiation oder Lösung eines Anfangswertproblems. Hier wird der entstehende Fehler in Abhängigkeit von einem gewählten Gitter oder einer gewählten Schrittweite betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Gegeben sei ein kontinuierliches Problem und die exakte Lösung u(t) sowie die numerische Lösung uh(t) zu einer Schrittweite h > 0. Das Verfahren heißt konsistent, falls es eine Funktion σ(h) mit gibt, so dass für den lokalen Fehler gilt (das Verfahren startet mit exakten Anfangsdaten):

Es besitzt die Konsistenzordnung falls .

Das bedeutet, dass man zu jedem Zeitpunkt (oder auch Ort) eine Fehlerbeschränkung in Abhängigkeit von der gewählten Schrittweite hat. Es ist klar, dass in der Praxis Verfahren dieses Verhalten nur zeigen, wenn man eine hinreichend kleine Schrittweite wählt (vgl Stabilität).

Viele solcher Konsistenzabschätzungen werden mit Hilfe des Satzes von Taylor bewiesen, aus dem einfachen Grund, dass viele Verfahren die ersten Glieder der Taylorreihe (die abhängig von einer Schrittweite h ist) entwickeln um ausgehend von der Lösung zum aktuellen Zeitpunkt die Lösung für den nächsten Zeitpunkt darzustellen:

.

Die Konstante c ist dann das Restglied f''(ξ), bzw. eine Supremumsnormabschätzung.

Beispiele

Differentiation

Eine Möglichkeit, die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x zu errechnen, ist die Benutzung von Differenzenquotienten, sofern f hinreichend oft differenzierbar ist. Wir betrachten zwei Verfahren:

Den einfachen Differenzenquotienten
und
den zentralen Differenzenquotienten

Die Taylorentwicklungen

liefern dann für den einfachen Differenzenquotienten

.

bzw. für den zentralen Differenzenquotienten

Einsetzen und Subrahieren in der Norm liefert dann die Konsistenzordnung eins bzw. zwei: O(h) bzw. O(h2). Man erkennt, dass man mit ähnlichem Rechenaufwand (je zwei Funktionsauswertungen und im Wesentlichen eine Division) mittels des zentralen Differenzenquotienten eine höhere Konsistenzordnung erreicht.

Eulerverfahren

Zum diskreten Lösen eines Anfangswertproblemes verwendet man Verfahren, ähnlich dem expliziten Eulerverfahren (Euler'sches Polygonzugverfahren). Dies bedeutet, dass für das Problem:

Gesucht ist u(t) mit

mit .

Das explizite Eulerverfahren wird angewandt mittels

mit .

Man kann auch hier mit der Taylorentwicklung die Konsistenz von O(τ) zeigen.