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Euler-Mascheroni-Konstante

Dieser Artikel beschäftigt sich mit der mathematischen Konstanten γ. Für die Basis des natürlichen Logarithmus e siehe Eulersche Zahl.
γ

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni) ist eine mathematische Konstante, die als der Grenzwert

definiert ist.

Von Leonhard Euler wurde die Konstante mit C bezeichnet, heute wird sie allgemein mit dem griechischen Buchstaben γ (Gamma) notiert.

Ihr numerischer Wert ist auf 100 dezimale Nachkommastellen genau

γ=0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495…

Beispiel für n = 1000000:

= 14,3927267228...

ln 1000000 = 13,8155105579...

14,3927267228... − 13,8155105579... = 0,5772161649...

Diese Differenz ist die Euler-Mascheroni-Konstante plus einem gewissen Rest.

Trotz großer Anstrengungen ist bis heute unbekannt, ob diese Zahl rational oder irrational, ob sie algebraisch oder transzendent ist. Es wird aber stark vermutet, dass sie zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu hat 1926 Paul Émile Appell mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von Joseph Ser unternommen.

Im Gegensatz zur Kreiszahl π, die jeweils bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius auftritt, ist für die Eulersche Konstante außerhalb der Mathematik kein Beispiel eines direkten Vorkommens bekannt. Natürlich gibt es viele praktische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe Hn führen (wie z.B. das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern, Kinos,...). Da es sich immer um endlich viele Sitzreihen handelt, kommt kein Grenzübergang zustande, der für das Auftreten von γ erforderlich wäre. (Beim Kreis, der aus unendlich vielen Punkten gebildet wird, ist ein solcher Grenzprozess bereits enthalten.)

Die Euler-Mascheroni-Konstante in mathematischen Problemen

Die eulersche Konstante tritt in der Mathematik sehr häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen der Differential- und Integralrechnung auf. Das Auftreten lässt sich (wie auch bei anderen mathematischen Konstanten) so unterteilen:

1. Als Funktionswert oder Grenzwert von Speziellen Funktionen.

Der Wert γ ist die negative Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also

.
.

Hierbei bezeichnet ζ(s) die riemannsche Zeta-Funktion.

2. In Entwicklungen spezieller Funktionen, z.B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel oder der Besselfunktionen.

3. Integraldarstellungen

Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, z.B.:

Es gibt auch sehr viele invariante Parameterintegrale, z.B.:

4. Reihendarstellungen sind im Gegensatz zu π prinzipiell seltener. Als Beispiele von Reihen mit rationalen Gliedern sind nur die Reihen von Euler, Giovanni Enrico Eugenio Vacca, Ramanujan und Joseph Ser bekannt. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), ... bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergenten Reihe ist:

0,0173192...

Literatur