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Identische Abbildung

In der Mathematik ist eine identische Abbildung oder die Identität eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt, also salopp gesagt "nichts tut".

Ist M eine Menge, dann ist die identische Funktion auf M definiert als eine Funktion mit Definitionsbereich und Zielmenge M:

mit für alle .

Der Index wird häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext die Definitionsmenge hervorgeht. In diesem Fall wird auch 1 statt geschrieben. Statt der Notation wird manchmal die Schreibweise benutzt.

Ist eine beliebige Funktion, dann gilt für die Komposition (Hintereinanderausführung) mit der Identität:

.

In der Menge aller Funktionen von M nach M ist also die Identität das neutrale Element bezüglich der Komposition (diese Funktionen bilden ein Monoid).

Die Identität auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine multiplikative Funktion, die in der Zahlentheorie betrachtet wird.

Auf einem Banachraum ist die Identität eine stetige Funktion. Ist der Banachraum zusätzlich endlich-dimensional, so ist die Identität kompakt.

Siehe auch