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Differenzierbarkeit

Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Differenzierbarkeit ist in zahlreichen mathematischen Räumen definiert.

Die Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, die ihrerseits ein mathematisches Teilgebiet der Analysis darstellt.

Definitionen

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion aus der Menge der reellen Zahlen in sich selbst.

1. Definition: Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl a und eine Funktion g (Fehler der Approximation) existieren, derart, dass:

und g von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht. (Wachstumsvergleich für ) Den Wert a bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle x0.

2. Definition: Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle x0.

Beide Definitionen sind äquivalent.

Wenn eine Funktion f an einer Stelle x0 differenzierbar ist, schreibt man für die Ableitung f'(x0) oder auch .

3. Definition (mehrdimensionale Analysis)

Seien Banachräume und eine offene Menge. Eine Abbildung heißt im Punkt differenzierbar

und

f(x + h) = f(x) + A(h) + r(h)

und


Eine Funktion heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Grafisch lässt sich dies so deuten, dass eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist dort auch stetig. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht, wie das Beispiel zeigt.

Für viele mathematische Sätze ist nicht die Differenzierbarkeit, sondern die stetige Differenzierbarkeit relevant, also die Frage, ob auch die Ableitung selbst noch eine stetige Funktion ist. Von ganz besonders großer Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die beliebig oft stetig differenzierbaren oder glatten Funktionen.

Beispiel: Ist dann ist wegen für

die Ableitung . Und ist , wobei nicht existiert. Die Funktion f ist daher differenzierbar, jedoch nicht stetig differenzierbar.


Eine Trajektorie eines Wiener-Prozesses ist als Funktion stetig – aber fast sicher nirgends differenzierbar.

Die nach ihrem Entdecker benannte Weierstraß-Funktion ist ebenfalls überall stetig, aber sogar nirgends differenzierbar.

Begriffserweiterungen

Der Begriff der Differenzierbarkeit lässt sich ausdehnen auf

Folgende Konzepte stellen eine Verallgemeinerung der Differenzierbarkeit dar: