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Riemannsche Mannigfaltigkeit

Die riemannsche Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Historisch gesehen wurde dieses Teilgebiet der Mathematik ausgehend von den Arbeiten von Carl Friedrich Gauß durch Bernhard Riemann entwickelt. Die riemannsche Geometrie beschäftigt sich im Gegensatz zu den früheren Arbeiten von Gauß auch mit höherdimensionalen, topologischen Räumen. Während Gauß also die Theorie der gekrümmten, zweidimensionalen Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum entwickelte, löste sich Riemann vom Gedanken der eingebetteten Flächen und beschränkte sich auf die mathematische Beschreibung der geometrischen Eigenschaften n-dimensionaler Flächen.

Diese riemannschen Mannigfaltigkeiten oder riemannschen Räume lassen sich sehr oft über geeignete Parametrisierungen darstellen und untersuchen. Die Definitionsbereiche dieser Parameter bilden dabei ebenfalls riemannsche Mannigfaltigkeiten. Solche Definitionsbereiche werden dann durch eine Abbildung, die jedem Element der Menge eine riemannsche Metrik zuordnet, zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit. Mit Hilfe der Metrik lassen sich dann die wesentlichen geometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit beschreiben. So gelten auf jeder gekrümmten zweidimensionalen Fläche und auch den höherdimensionalen gekrümmten Gebilde die folgenden, teilweise identischen, Eigenschaften:

Der etwas allgemeinere Begriff der pseudo-riemannschen oder semi-riemannschen Mannigfaltigkeit ist in der allgemeinen Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da die Raumzeit als solche beschrieben wird.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Definition

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit einer Funktion g, die in jedem Punkt ein Skalarprodukt des Tangentialraums TpM definiert, d.h. eine positiv definite symmetrische Bilinearform

,

die differenzierbar von p abhängt, d.h., bei gegebenen differenzierbaren Vektorfeldern ist

eine differenzierbare Funktion.

g heißt riemannsche Metrik oder auch metrischer Tensor, ist aber keine Metrik im Sinne der metrischen Räume. Man kann aber mit Hilfe von g eine Metrik im Sinne der metrischen Räume wie folgt definieren:

dabei durchläuft γ alle differenzierbaren Wege, die x und y verbinden, und L(γ) bezeichnet die Länge von γ, die wie folgt definiert ist:

Die so definierte Metrik d induziert wieder die ursprüngliche Topologie von M. Weil man zeigen kann, dass jede differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltikeit riemannsche Metriken besitzt, bedeutet dies, dass jede differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltikeit metrisierbar ist.

Ein Weg, der lokal (d.h. für ausreichend nahe beieinander liegende Punkte) die kürzeste Verbindung realisiert, heißt Geodätische.

Beispiele

Raum der n-dimensionalen, reellen Vektoren

Gemäß Definition ist die Menge aller n-Tupel der reellen Zahlen zusammen mit dem euklidischen Standardskalarprodukt eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Tangentialraum des ist hier mit dem selbst identisch.

Kugeloberfläche

Die Oberfläche einer Kugel bildet zusammen mit dem euklidischen Skalarprodukt des eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit. In diesem Falle ist der Tangentialraum am Punkt p = f(θ,φ) gerade die Tangentialebene der Kugeloberfläche durch diesen Punkt. Für sämtliche Vektoren jeder Tangentialebene gibt es nun durch das euklidische Skalarprodukt des dreidimensionalen Einbettungsraumes automatisch eine symmetrische, positiv definite Bilinearform, und damit ist jede zweidimensionale Kugeloberfläche ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Für die Metrik dieser riemannschen Untermannigfaltigkeit existiert zudem eine anschauliche Koordinatendarstellung. Mit Hilfe von Kugelkoordinaten kann eine Parametrisierung einer Teilmenge der Kugeloberfläche definiert werden. Der Wertebereich der Funktion:

entspricht gerade einer Kugeloberfläche mit Radius r, aber ohne Nord- und Südpol: . Die partiellen Ableitungen von f

sind aufgrund ihrer Definition Elemente der Tangentialebene am Punkt p = f(θ,φ). Da diese beiden Vektoren über den gesamten Definitionsbereich linear unabhängig sind, bilden sie für jeden Punkt des Definitionsbereiches eine Basis des Tangentialraumes. Mit dieser Basis existiert auch eine Koordinatendarstellung der Metrik. Dazu werden die vier möglichen Skalarprodukte dieser Basisvektoren berechnet:

und

Aufgrund der Symmetrie des Skalarproduktes sind die beiden Funktionen gθφ und gφθ prinzipiell identisch. Im Falle von Kugelkoordinaten ergibt sich also die folgende Koordinatendarstellung der riemannschen Metrik. Aufgrund weitererer mathematischer Eigenschaften wird diese Metrik in der theoretischen Physik oft auch metrischer Tensor genannt:

Die Indizes i und j können beide die Werte 1 oder 2 annehmen. Dabei steht die Ziffer 1 für die erste Koordinate θ und 2 für die zweite Koordinate φ.

Berechnung von Längen

Anhand der Kugeloberfläche und der zugehörigen riemannschen Metrik lässt sich auch gut zeigen, wie Entfernungen auf eingebetteten Räumen berechnet werden können. Mit Hilfe zweier Funktionen

im Parameterraum des obigen Beispiels definiert. I ist dabei ein geeignetes Intervall in . Durch Einsetzen in die Definition der Kugelkoordinaten wird eine Kurve auf der Kugeloberfläche definiert:

Die Ableitung ist gerade der Tangentialvektor an die Kurve . Mit Hilfe des euklidischen Skalarprodukts kann die Länge dieses Vektors berechnet werden:

Die totale Ableitung nach t berechnet sich ganz allgemein gemäß:

Daraus folgt mit den Bezeichnungen des obigen Beispiels der Kugeloberfläche die folgende Gleichung:

Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht aber gerade der Integrand aus der Definition von L(γ). Die Integration ergibt somit den Abstand zwischen beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche ohne Nord- und Südpol:

Nun kann beispielsweise der Umfang der Kugel, als Länge des Äquators, berechnet werden. Mit und φK(t): = t mit wird der Äquator der Kugel geeignet parametrisiert und es gilt

Die Integration dieser Gleichung ergibt die richtige Formel für den Umfang bzw. die Länge des Äquators der Kugeloberfläche.

Die mathematische Entfernungsmessung funktioniert hier nach dem physikalischen Prinzip der Momentangeschwindigkeit. D.h., die Länge eines Weges ergibt sich durch Integration der momentanen Geschwindigkeiten, mit denen der Weg beschritten wird, multipliziert mit infinitesimal kleinen Zeitabschnitten dt. Die mathematische Präzisierung der Momentangeschwindigkeit als Vektor ist dabei gerade ein Tangentialvektor an eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Richtungsableitung und Parallelverschiebung von Tangentialvektoren

Bei der Definition der Richtungsableitung ist es sehr praktisch, auch wieder von eingebetteten zweidimensionalen Flächen auszugehen. Die Ergebnisse lassen sich dann sehr leicht auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten verallgemeinern.

Um die Richtungsableitung von Tangentialvektoren zu definieren, denkt man sich, genau wie in dem eben dargestellten Beispiel, eine beliebige Kurve auf der Fläche und die zugehörigen Tangentialvektoren an diese Kurve. Diese Tangentialvektoren existieren dabei sowohl als dreidimensionale Vektoren des umgebenden euklidischen Raumes als auch als zweidimensionale Vektoren in der Tangentialebene. Im Fall der zweidimensionalen Fläche ist der dreidimensionale Tangentialvektor einfach die Ableitung der dreidimensionalen Kurvenfunktion nach dem Parameter t. Dies ist soweit analog zu obigem Beispiel, wo Distanzen auf der Fläche berechnet werden. Der Vektor ist also für jedes t ein Tangentialvektor, sofern auch in der Fläche bzw. Mannigfaltigkeit liegt. Nun ist der naheliegendste Ansatz für eine Richtungsableitung einfach die zweite Ableitung . Dieser Vektor kann ebenfalls entlang der Kurve und für jedes t berechnet werden, doch muss dabei beachtet werden, dass dieser neue Vektor normalerweise kein Tangentialvektor mehr ist. Dies kann jedoch durch eine Projektion auf die Tangentialebene gewährleistet werden. Damit ergibt sich wieder ein Vektor, der in der Tangentialebene liegt. Dieser Vektor wird auch als Richtungsableitung des Tangentialvektors bezeichnet. Sind alle partiellen Ableitungen der Metrik stetig, so kann diese Projektion alleine über die induzierte Metrik berechnet werden. Die konkrete Rechnung zeigt, dass in die Formel für die Richtungsableitung dann nur noch die Koordinatendarstellung der induzierten Metrik eingeht. Damit kann diese Formel zugleich auch auf riemannsche Mannigfaltigkeiten angewendet werden. Für die Richtungsableitung der Tangentialvektoren gilt also

Über alle doppelten Indizes wird hier gemäß der einsteinschen Summenkonvention summiert. Die Funktionen heißen Christoffelsymbole. Sie lassen sich aus der Metrik durch partielle Ableitung berechnen. Zu beachten bleibt, dass sich diese Formel nur noch auf die riemannsche Mannigfaltigkeit bzw. die Tangentialebenen bezieht. Im Falle einer zweidimensionalen Fläche nimmt jeder Index also die Werte 1 und 2 an. Bezogen auf obiges Beispiel der Kugeloberfläche ist Ai(t) die zweidimensionale Koordinatendarstellung des Vektors . Zudem gilt

Sind für alle definierten t alle Komponenten der Richtungsableitung Ri(t) gleich null, wird der Vektor entlang der Kurve K parallel verschoben. Ist zusätzlich der Tangentialvektor der Kurve K für alle t, so ist diese Kurve auch die kürzeste Verbindung zwischen Anfangs- und Endpunkt der Kurve. Solche Kurven werden, wie bereits oben erwähnt, Geodäten genannt.

Geschichte

Gauß’ Theorie der gekrümmten Flächen verwendet eine extrinsische Beschreibung, d.h., die gekrümmten Flächen werden mit Hilfe eines umgebenden, euklidischen Raumes beschrieben. Riemanns Ansatz vertritt dagegen einen abstrakten Ansatz, der ohne umgebende Räume auskommt. Diesen Ansatz und die zugehörigen Definitionen führte Riemann in seinem Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen vom 10. Juni 1854 an der Universität Göttingen ein. Dort wurden auch viele Definitionen vorgestellt, die noch heute in der modernen Mathematik verwendet werden. Von parakompakten Räumen war damals jedoch noch nicht die Rede. Anstelle von Kurven und Tangentialvektoren verwendete Riemann damals infinitesimale Linienelemente.

Seit Anfang des 19. Jahrhunderts werden so genannte nichteuklidische Geometrien diskutiert. Die riemannsche Geometrie hat dabei gerade die geeigneten Definitionen und die geeignete Sprache, um diese Geometrien von einem allgemeinen Standpunkt aus zu beschreiben. Der Begriff der riemannschen Mannigfaltigkeit bildete zum Anfang des 20. Jahrhunderts einen grundlegenden Ausgangspunkt für die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie.

Literatur