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Potenzregel

Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen f(x) = xn. Sie lautet:

.

Beispielsweise ist .

Inhaltsverzeichnis

Verallgemeinerung

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen f(x) = xs, deren Exponent (Hochzahl) s keine ganze Zahl ist:

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

.

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

.


Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: und leitet ab mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion:

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

Indem man dies einsetzt und für wieder xs schreibt, erhält man

Diese Herleitung gilt nur für . Für s > 1 ist die Funktion f(x) = xs aber auch an der Stelle x = 0 differenzierbar und die Regel gilt auch an an der Stelle x = 0. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients: