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Schwerpunkt

Der Schwerpunkt, das Gravizentrum (engl. Center of Gravity, COG bzw. C/G) eines Körpers ist sein Mittelpunkt in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift.

Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld merklich verschieden sein für verschiedene Teile des Körpers. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenschwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenschwerpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Schwerpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz).

Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet. Siehe auch: Mehrkörper-System

Bei allem dem muss man sich darüber im Klaren sein, dass der Schwerpunkt eines Körpers nicht unbedingt im Inneren des Körpers liegen muss. Das gilt natürlich für Körper mit Hohlräumen, kann aber auch ganz allgemein für beliebige nichtkonvexe Körper gelten. Beispiele dafür sind der Torus, ein mondsichelförmiger Bogen oder so triviale Alltagsgegenstände wie eine Tasse oder eine Schale.

Bestimmung des Schwerpunktes

Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur Bestimmung des Schwerpunktes eines beliebigen starren Körpers: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der Schwerpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts).

Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man den Schwerpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden („Schwerlinien“). Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial, als der erste Anschein glauben lässt.

Verblüffend ist die folgende Methode, um den Schwerpunkt eines schmalen und länglichen Gegenstandes (z. B. Lineal oder Besen) zu bestimmen: Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit von einander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf den Finger, der dem Schwerpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt, d. h. der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern in etwa dieselbe Reibung vorliegt und der Schwerpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern. (Ist der Gegenstand allerdings zu sehr gebogen, ergibt sich der oben erwähnte Effekt und der Schwerpunkt liegt unterhalb des Unterstützungspunktes.)

Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, berechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft (an Modellen) angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

Beispiele geometrischer Flächen

Ebene Flächen

Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine sogenannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerlinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls im Schwerpunkt.

Dreieck
,
Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Man nennt sie daher auch Schwerlinien.


Trilineare Koordinaten:


Baryzentrische Koordinaten:

Trapez
Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet:
Halbkreis

Räumliche (gekrümmte) Flächen

Schwerpunkt einer Linie

beliebiger flacher Bogen:
Kreisbogen:
(mit α in Bogenmaß)

(mit α als Winkelmaß)

Siehe auch: Rotationsfläche, Rotationskörper

Zusammenfassen von Schwerpunkten

Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner einfacher Elemente zu einem gemeinsamen Schwerpunkt zusammenzufassen.

1-dimensional 2-dimensional 3-dimensional allgemein



Der Abstand xs (bzw. ys, zs) ist jener von einem frei wählbaren Koordinatenursprung. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden, jedoch muss beachtet werden, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung mit eingehen.

Schwerpunkt von Flächen und Körpern, deren Begrenzung durch den Graphen einer Funktion gegeben ist

In den vorherigen Abschnitten wurden ausschließlich Flächen und Körper behandelt, deren Gestalt bestimmten geometrischen Grundformen entspricht. Wenn dieser Sachverhalt nicht gegeben ist und die Begrenzung von Körpern bzw. Flächen durch Graphen von Funktionen gegeben sind, so kommt zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten die Integralrechnung zur Anwendung.

Dann gilt:

2-dimensional 3-dimensional




Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im 2-dimensionalen Fall substituiert man dA mit , was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei y der die Fläche begrenzende Funktion y(x).

Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im 2-dimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:

Beispiel: Schwerpunkt einer Parabel

Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel y1 = x2 − 4 und durch die x-Achse definiert ist.

Zuerst bestimmen wir den Inhalt A der Fläche

Die x-Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu

Die y-Koordinate ergibt sich zu

 Wiktionary: Schwerpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik