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Stellenwertsystem

Die Artikel Zahlensystem und Stellenwertsystem überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Bitte äußere dich in der Diskussion über diese Überschneidungen, bevor du diesen Baustein entfernst. Röhrender Elch 23:35, 13. Mai 2008 (CEST)

Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem oder Polyadisches Zahlensystem genannt) ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) große Zahlen darstellt. In diesem Zusammenhang wird auch oft von der b-adischen Darstellung von Zahlen (nicht zu verwechseln mit p-adischen Zahlen) gesprochen, wobei die Variable b für die Anzahl der Symbole steht. Der Wert von b wird auch als Basis oder Grundzahl bezeichnet.

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Grundzahl 10) oder das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Grundzahl 2), das Oktalsystem (mit der Grundzahl 8) sowie das Hexadezimalsystem (mit der Grundzahl 16). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Es gibt zwei unterschiedliche Arten, die Zifferndarstellung einer Zahl zu betrachten:

Durch die Zuordnung zwischen Symbolen und Zahlen stehen die beiden Sichtweisen in enger Beziehung. Für mathematische Anwendungen wie zum Beispiel bei Teilbarkeitsregeln wird meist die zweite Möglichkeit gewählt.

Inhaltsverzeichnis

Ziffern

Die b-adische Darstellung einer Zahl verwendet genau b verschiedene Ziffern, mindestens jedoch zwei. Jeder der b Ziffern wird eindeutig (injektiv) eine der Zahlen von 0 bis b − 1 zugeordnet. Zur Unterscheidung sind im Folgenden Ziffersymbole stets fett und ihre zugehörigen Zahlenwerte normal gedruckt.

Beispiele:

Für b < 10 werden gewöhnlich die ersten b Ziffern wie im Dezimalsystem verwendet.

Für b > 10 kommen gewöhnlich zusätzlich zu den Ziffern des Dezimalsystems Buchstaben als Ziffern zum Einsatz. Beispielsweise werden im Hexadezimalsystem mit b = 16 zusätzlich die Ziffern A, B, C, D, E und F verwendet und diesen (wieder in dieser Reihenfolge) die Zahlen 10, 11, 12, 13, 14 und 15 zugeordnet.

Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der b-adischen Darstellung durch eine (endliche) Folge

von Ziffern ai dargestellt. Üblicherweise wird die Folge aber nicht wie eben gezeigt von links nach rechts und durch Komma getrennt, sondern von rechts nach links und ohne Komma dargestellt, also:

Der Folge wird nun die Zahl

zugeordnet.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl x eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert x ist. Im allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu beliebig oft die Ziffer 0 =0 anzuhängen (das heißt in der üblichen Schreibweise voranstellen). Werden Folgen verboten, die mit der Ziffer 0 enden (in der üblichen Schreibweise also solche mit führender 0), so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl x existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert x ist. Entgegen diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die endliche Folge ohne ein einziges Folgenglied) zugeordnet, sondern die Folge, die aus genau einem Folgenglied besteht, nämlich der Ziffer, der der Wert 0 zugeordnet wird (üblicherweise also 0), um diese Zahl überhaupt darstellen zu können.

Als Beispiel betrachten wir die Ziffernfolge 4C3 im Hexadezimalsystem (b = 16):

a0 ist hier 3, a1 ist hier C und a2 ist 4. Ferner ist 3 = 3, C = 12 und 4 = 4. Also repräsentiert die Folge 4C3 die Zahl

Entsprechend repräsentiert die Folge 1010011 im Dualsystem (b = 2) die Zahl

Im Dezimalsystem (b = 10) steht 3072 für:

Darstellung ganzer Zahlen

Ganze Zahlen werden wie natürliche Zahlen durch endliche Ziffernfolgen dargestellt, mit dem Unterschied, dass negativen Zahlen ein Minuszeichen (üblicherweise „-“) als Symbol vorangestellt wird. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden üblicherweise als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben. In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen (üblicherweise „+“) vorangestellt.

Darstellung rationaler Zahlen

Auch rationale Zahlen lassen sich b-adisch darstellen. Wie im Dezimalsystem wird hierbei mit einem Trennzeichen der ganzzahlige vom gebrochenen Teil abgetrennt. Im deutschsprachigen Raum wird hierfür üblicherweise das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« verwendet. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit b-i multipliziert, wobei i die Position hinter dem Komma angibt.

Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

Es kann dabei vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche, aber periodische Folge von Nachkommastellen benötigt wird. Gewöhnlich wird diese Periode dann durch eine über die periodischen Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so eine endliche Darstellung möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Symbolfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

Dagegen bezeichnet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (triadischen) System die rationale Zahl 1·3-1 = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333... entspricht.

Allgemein gilt, dass ein gekürzter Bruch genau dann eine nicht periodische b-adische Darstellung hat, wenn alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von b sind. (Für eine nicht periodische Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also das Produkt von Zweien und Fünfen sein.)

Wichtig ist es an dieser Stelle, zu erkennen, dass die Zifferndarstellung mancher rationaler Zahlen nicht mehr eindeutig ist. So bezeichnen die Ziffernfolgen 1, 1,0 und 0,999... im Dezimalsystem dieselbe rationale (sogar natürliche) Zahl 1. Während die ersten beiden Darstellungen sofort als gleichwertig erkennbar sind, wird eine geometrische Reihe benötigt, um

nachzuweisen. Der „alltagstaugliche“ Beweis

macht von dieser unendlichen Reihe Gebrauch. Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis b auf, denn falls n die Ziffer mit dem Wert b-1 bezeichnet, dann hat die Ziffernfolge

den Wert 1.

Darstellung reeller Zahlen

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder ) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge, ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Formeln für Ziffern und Operationen mit Ziffern

Die letzte Ziffer der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist der Rest von n bei Division durch b. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

gegeben; dabei bezeichnet die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten k Ziffern von n gebildete Zahl der Rest von n bei Division durch bk.

Die k-te Ziffer (von rechts mit null beginnend gezählt) einer positiven reellen Zahl x ist

für negative k ergibt sich die entsprechende Nachkommastelle.

Die Anzahl der Ziffern der b-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n ist

Hängt man an eine Zahl n in b-adischer Darstellung eine Ziffer z an, so erhält man die b-adische Darstellung der Zahl bn + z.

Verallgemeinerung

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Grundzahlen möglich, so zum Beispiel ein fakultätsbasiertes Zahlensystem.

Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler und reeller Zahlen nicht. Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt τ = (1+√5)/2 als Basis verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form r+s√5 mit rationalen r, s dar (dagegen hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung). Siehe dazu den englischen Artikel en:Golden mean base.

Genau wie man die reellen Zahlen über nach rechts unendliche Dezimalbrüche definieren kann, ist es möglich, formal mit nach links unendlichen b-adischen „Zahlen“ zu rechnen. Ist b = p eine Primzahl, erhält man den Körper der p-adischen Zahlen.

Weiterführende Texte

Der Artikel Zahlbasiswechsel beschäftigt sich mit der Umrechnung der Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen. Eine Einführung zum Rechnen in Stellenwertsystemen befindet sich im Artikel Arithmetik in Stellenwertsystemen. Der Artikel Teilbarkeitsregeln erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist.

Siehe auch

Literatur

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