Heim

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren und im dreidimensionalen reellen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors ist proportional zur Fläche des Parallelogramms mit den Seiten und .

Die Vektoren und bilden mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem. Kreuz- und Skalarprodukt sind über das Spatprodukt miteinander verknüpft.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Darstellung

Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

.

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

,

wobei der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels θ ist, ein zu beiden Vektoren senkrechter Einheitsvektor und , die jeweiligen Längen (Beträge) der Vektoren sind.

Orientierung

Es gibt zwei Vektoren , die senkrecht auf und stehen und die entsprechende Länge haben; diese weisen in entgegengesetzte Richtungen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist „rechtshändig“ (ein so genanntes Rechtssystem), d. h., sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren , und verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Komponentenweise Berechnung

Für den euklidischen Raum mit der Standardbasis {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} und dem kanonischen Skalarprodukt gibt es eine Formel für das Kreuzprodukt:

.

Ein Zahlenbeispiel:

.

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer „symbolischen Determinantenschreibweise“. Dabei erzeugt man eine -Matrix in deren ersten Spalte die Symbole , und für die kanonische Basis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors und die dritte von denen des Vektors gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel nach der Regel von Sarrus:

.

Unter Zuhilfenahme des Levi-Civita-Symbols lassen sich die Komponenten wie folgt berechnen:

bzw. unter Berücksichtigung der einsteinschen Summenkonvention:

Grafische Darstellung

Die folgende Darstellung zeigt, wie die drei Vektoren und zueinander angeordnet sind.

Der Betrag von entspricht der Fläche des von und aufgespannten Parallelogramms.

Bilinearität

Das Kreuzprodukt ist eine bilineare Abbildung. Als solche gelten zwei Distributivgesetze:

und

.

Ferner gilt:

Weiterhin gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:

für alle .

Andere wichtige Eigenschaften

Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern

.

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder auch schiefsymmetrisch.

Für das Quadrat der Norm erhält man

.

Für den zwischen den Vektoren und aufgespannten nicht überstumpfen Winkel θ gilt

.

Sind die Vektoren und parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor, insbesondere gilt

.

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ, aber es gilt die Jacobi-Identität.

Kreuzprodukt der Einheitsvektoren

Für jeden der kanonischen Einheitsvektoren im , sprich , und , gilt, dass er sich als Kreuzprodukt der jeweils zwei verbleibenden Vektoren darstellen lässt.

Beispiel:

.

Graßmann-Identität

Die Graßmann-Identität (auch graßmannscher Entwicklungssatz nach Hermann Graßmann, auch BAC-CAB Regel genannt) ist geeignet, um physikalische Vektorberechnungen zu vereinfachen. Sie lautet

.

Ein Merksatz für diese Formel ist „ABC = BAC minus CAB“ oder gesprochen „erst Backen, dann cabben“ (sprich kappen, im Sinne von abschneiden, weist auch auf das Minus hin).

Anderer Merksatz: Mittlerer Vektor mal Skalarprodukt der übrigen, minus anderer Vektor der Klammer mal Skalarprodukt der übrigen.

Anmerkung: Die Graßmann-Identität gilt nur für Vektoren, die bezüglich der Multiplikation kommutieren, also nicht für vektorwertige Operatoren (wie z. B. für den Nabla-Operator, siehe graßmannscher Entwicklungssatz).

Jacobi-Identität

.

Lagrange-Identität

.

Ableitungen

Produktregel

.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale orientierte euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n − 1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.

Endlichdimensionale euklidische Vektorräume

Sei nun V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum mit Skalarprodukt und einer festen Orthonormalbasis . Weiter bezeichne die Determinante diejenige (eindeutig bestimmte) Determinantenfunktion, welche erfüllt.

Das Kreuzprodukt ist nun eine Abbildung, welche zu je n − 1 Vektoren einen Vektor in der folgenden Weise zuordnet: Es wird definiert als die Abbildung

worin der eindeutige Vektor ist, welcher

für alle

erfüllt. Insbesondere erhält man direkt aus der Definition

für alle .

Also ist der Vektor orthogonal auf allen , .

Beachte: Zur Definition des Kreuzprodukts benötigt man die feste Basis , welche die „Orientierung“ festlegt. Das Kreuzprodukt, welches zur Basis auf obige Weise konstruiert wird, würde sich um den Faktor − 1 unterscheiden.

Formale Determinante

Gegeben sei eine Orthonormalbasis , welche erfüllt. Dann erhält man das Kreuzprodukt von durch formale Entwicklung nach der letzten Spalte der Determinante der folgenden „-Matrix“

,

wobei der „Spaltenvektor“ ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Speziell für bedeutet dies

für

und .

Da und das Ergebnis der Determinante kein Element von K, sondern ein Element von V ist, liegt hier nur eine formale Determinante vor.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes stellt das äußere Produkt von Linearformen (beziehungsweise noch allgemeiner von (alternierenden) Multilinearformen) dar. Dabei kann dann eine beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden; das Ergebnis ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.

Anwendungen

Etliche physikalische Größen können mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet werden. Beispiele dafür sind das Drehmoment, die Lorentzkraft oder der Poynting-Vektor.

 Wiktionary: Kreuzprodukt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik