Holomorphie
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Holomorphie

Dieser Artikel erläutert den mathematischen Begriff Holomorphie; für holomorphe Pilze siehe Holomorphe (Mykologie).

Holomorphie (von gr. holos, „ganz“ und morphe , „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden. Eine Funktion für offenes heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt komplex differenzierbar ist.

Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist eine holomorphe Funktion stets unendlich oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Holomorphie in der komplexen Ebene

Es sei eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion heißt komplex differenzierbar im Punkt z0, falls der Grenzwert

existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als .

Die Funktion f heißt holomorph im Punkt z0, falls eine Umgebung von z0 existiert, in der f komplex differenzierbar ist.

Die Funktion f heißt holomorph auf U, falls f in jedem holomorph ist. Insbesondere ist also der Definitionsbereich einer holomorphen Funktion offen.

Ist f auf ganz holomorph, so nennt man f eine ganze Funktion. Eine holomorphe und bijektive (injektive) Funktion wird auch als konform (schlicht) bezeichnet.

Komplexe, aber nur reell differenzierbare Funktionen

Nicht jede reelle Funktion ist auch holomorph. Wie bekannt, heißt eine Funktion differenzierbar, falls eine -lineare Abbildung existiert, so dass die Gleichung mit gilt. Für holomorphe Funktionen muss A natürlich -linear sein, was eine starke Einschränkung bedeutet.

Holomorphie im

Sei eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung heißt holomorph, falls in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist.

Seien

und

die Dolbeault-Operatoren. Eine äquivalente Definition der Holomorphie einer Funktion f lautet und für die Ableitungsfunktion gilt

.

Hierbei bezeichnen die Wirtingerableitungen, welche definiert sind als

und

Die Äquivalenz der Definitionen ist leicht mit Hilfe der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen zu erkennen.

Beispiele

Folgende Funktionen sind holomorph auf ganz :


Folgende Funktionen sind in keinem komplex differenzierbar, und damit auch nirgendwo holomorph:

Wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen

Hier folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die allesamt kein Pendant in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei ein Gebiet und holomorph.

Cauchysche Integralformel

Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. Für mehrdimensionale holomorphe Abbildungen gibt es ein Analogen. Dieses ist unter dem Namen Bochner-Martinellische Integralformel bekannt.

Holomorphie und Analytizität

Eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in z0 holomorphe Funktion ist in z0 analytisch. Umgekehrt lässt sich jede in z0 analytische Funktion zu einer in z0 holomorphen Funktion fortsetzen.

Da Potenzreihen unendlich oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

Cauchyscher Integralsatz

Ist einfach zusammenhängend und γ ein Zyklus in U, so gilt der cauchysche Integralsatz

Identitätssatz

Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der Identitätssatz besagt, dass zwei holomorphe Funktionen, die auf einer Menge , die in X einen Häufungspunkt hat, übereinstimmen, identisch sind.

Weiteres

Literatur

Standardwerke

Einführungen

Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie

Siehe auch

Komplexe Teilmengen, Konforme Abbildung