Heim

Dirichlet-Prinzip

Das Dirichlet-Prinzip in der Potentialtheorie besagt, dass Funktionen u in einem Gebiet (mit vorgegebenen Werten u = g auf dem Rand von G), die das „Energiefunktional“ (Dirichlet-Integral)

minimieren, die Laplace-Gleichung

in G erfüllen, also harmonische Funktionen sind.

Geschichte

Es wurde von Georg Friedrich Bernhard Riemann zur Begründung seiner Theorie riemannscher Flächen verwendet (insbesondere für den Beweis der Existenz analytischer Funktionen auf diesen Flächen), der es nach seinem Lehrer Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte. Bei analytischen Funktionen erfüllen der Real- und Imaginärteil separat die Laplacegleichung. Durch die Kritik von Karl Weierstraß, der ein Beispiel eines ähnlichen Variationsproblems gab, bei dem keine Funktion existierte, die das Minimum annahm, war das Dirichlet-Prinzip im 19. Jahrhundert in Misskredit geraten. Erst insbesondere durch die Arbeiten von David Hilbert (1904), der sogenannte „direkte Methoden“ der Variationsrechnung verwendete, wurde es rehabilitiert und dann häufig z.B. von Richard Courant in der Theorie der konformen Abbildungen und in der Theorie der Minimalflächen verwendet.

Das Dirichlet-Prinzip liefert eine Methode für die Lösung des für die mathematische Physik fundamentalen „Dirichlet-Problems“, nämlich die Laplace-Gleichung in einem vorgegebenem Gebiet G zu vorgegebenen Werten der Funktion auf dem Rand (Dirichlet-Randbedingung) zu lösen. Dieses Problem wird nämlich nun dadurch charakterisiert, einen Minimierer für ein geeignetes Funktional aufzufinden. Letztere Fragestellung gehört zum mathematischen Gebiet der Variationsrechnung.

Beweisskizze

Sei v eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit v = 0 auf dem Rand von G. Dann gilt für alle

Insbesondere existiert der Limes

Da das Funktional D in u ein Minimum annimmt, ist für und für . Also muss der Grenzwert 0 sein, d. h.

Die erste greensche Formel liefert

wobei v = 0 auf dem Rand benutzt wurde.

Da v bis auf die oben angegebenen Einschränkungen beliebig war, folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung, dass u die Laplace-Gleichung in G erfüllen muss.

Vorsicht: Vorausgesetzt wurden hierbei, dass man a priori wusste, dass u zweimal stetig differenzierbar ist und dass auf dem Gebiet G der gaußsche Integralsatz gilt. Letzteres ist keine große Restriktion, hingegen ist die erste implizite Voraussetzung delikaterer Natur. Diese Fragestellung wird in der Regularitätstheorie behandelt.

Literatur