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Konvexe Menge

Eine geometrische Figur M wird konvex genannt, wenn mit je zwei ihrer (beliebig gewählten) Punkte auch deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge liegt. Dies entspricht der Aussage, dass die Figur hinsichtlich jedes ihrer Punkte sternförmig ist.

Eine Menge, die nicht konvex ist, wird nichtkonvexe Menge genannt. Oft wird dafür auch die Bezeichnung konkave Menge verwendet. Dies ist jedoch irreführend, weil konkav nicht die Negation von konvex ist.

Inhaltsverzeichnis

Formale Definition

Ist V ein reeller Vektorraum, so lässt sich die Verbindungsstrecke zweier Punkte (d.h. Vektoren) a und b als die Menge

beschreiben. Eine Teilmenge M von V ist also genau dann konvex, wenn für und stets auch gilt.

Ist V ein komplexer Vektorraum, so ist der Grundkörper nicht geordnet. Man kann jedoch V als reellen Vektorraum auffassen und dann die obige Definition von verwenden.

Allgemein genügen für die sinnvolle Definition von Konvexität jedoch erheblich schwächere Voraussetzungen an die Geometrie, in der M „lebt“, man braucht aus Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie lediglich die Axiome der Verknüpfung und die der Anordnung.

Beispiele

Hierbei seien die genannten Mengen stets als Teilmengen der herkömmlichen (euklidischen) Ebene bzw. des Raumes betrachtet. Ansonsten ist etwa die Menge nicht konvex, wenn man sie in der Moulton-Ebene betrachtet.

Für Bilder von Mengen, die nicht konvex sind, siehe nichtkonvexe Menge.

Eigenschaften

Jede nichtleere konvexe Teilmenge eines reellen Vektorraums ist zusammenhängend und sogar zusammenziehbar.

Der Durchschnitt (Schnittmenge) beliebig (auch unendlich) vieler konvexer Mengen ist konvex. Somit bilden die konvexen Teilmengen eines Vektorraumes ein Hüllensystem. (Die Vereinigung konvexer Mengen ist hingegen im Allgemeinen nicht konvex.)

Die konvexe Hülle einer Menge ist die kleinste konvexe Obermenge. Sie ist der Durchschnitt aller konvexen Mengen, in denen sie enthalten ist.

In vielen Fällen besteht eine (abgeschlossene) konvexe Menge M aus den Konvexkombinationen ihrer Extremalpunkte (Satz von Krein-Milman). Dabei ist ein Extremalpunkt ein Punkt, der nicht zwischen zwei Punkten aus M liegt.

Geschichte

Die Theorie der konvexen Mengen wurde von Hermann Minkowski begründet, nämlich in seinem Werk Geometrie der Zahlen, Leipzig 1910.