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Drehmoment

Physikalische Größe
Name Drehmoment
Größenart Moment
Formelzeichen der Größe M
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI
Nm
M L2 T −2

Als Drehmoment bezeichnet man jene physikalische Größe, die bei der Beeinflussung der Drehzahl (Zunahme oder Abnahme) eines drehbaren Körpers wirkt.

Das Drehmoment wird in Newtonmeter (Einheitenzeichen: Nm) gemessen und ist das Vektorprodukt von Kraftarm und Kraft.

 – Drehmomentvektor
Drehmoment ist Kraftarm mal Kraft.

Das Drehmoment ist ein Spezialfall eines Moments, der für rotierende Körper und Systeme benutzt wird. Es spielt dabei eine vergleichbare Rolle wie die Kraft bei der geradlinigen Schiebebewegung (Translationsbewegung). Siehe Hierzu auch die Tabelle in Rotation (Physik). Ein Antriebsmoment kann einen Drehkörper (z. B. ein Rad) um seine Drehachse rotatorisch beschleunigen, sodass die Drehzahl des Rades steigt. Ein in die andere Richtung gerichtetes Bremsmoment kann die Drehzahl des Rades reduzieren. Sind Antriebs- und Bremsmoment gleich groß (Momentengleichgewicht), dann ändert der Drehkörper seine Drehzahl nicht.

Die physikalische Dimension des Drehmomentes ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newton-Meter, .

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Wirkt auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers eine Kraft, so wird der Körper beschleunigt, das heißt, seine Geschwindigkeit verändert sich. Er führt eine geradlinige Translationsbewegung (Verschiebung) aus. Wird der Körper jedoch an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translation mehr möglich, und die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d. h. die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment.

Eine einzelne Kraft kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird beispielsweise durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, , so ist die resultierende Kraft auf den Körper null, und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt dieses Kräftepaar ein Drehmoment auf den Körper und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte und auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft zum Angriffspunkt von zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente von bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft (oder ) steht. ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken.

  • Der Betrag des Drehmomentes ist dann das Produkt von mit r'
  • Die Richtung des Drehmomentes ist senkrecht zur durch die Kraft und den Abstandsvektor aufgespannten Ebene gelegen, in derjenigen Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Diese „Rechte-Hand-Regel “ ist eine Definition, die durchgängig bei allen Berechnungen der Technischen Mechanik verwendet wird. (Man könnte jedoch mit der gleichen Berechtigung alle Drehmomente auch durchgängig über eine „Linke-Hand-Regel“ definieren)

Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment die Definition:

.

D'Alembertsches Prinzip

Hauptartikel: D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine von null verschiedene resultierende Kraft, z. B., weil nur eine einzige Kraft von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft) berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden und ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Kräfte einschließlich der Trägheitskraft null ergibt!).

Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten etc.).

Messung des Drehmoments

Drehmomentmesseinrichtungen

Unterschiedliches Auftreten des Drehmomentes

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem, in welchem Zusammenhang sie wirken:

Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente:

  1. Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt.
  2. Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.

Drehmoment am realen Körper

Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmomentes hervorgerufene Deformation (z. B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmomentes selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, der die Deformation des Körpers einschließt. Zur Unterscheidung dieses Falles von dem der reinen Drehbewegung wird in der Technik die Größe, die auch die Deformation einschließt, als Moment bezeichnet. Nur im Falle der reinen Drehbewegung kann von Drehmoment gesprochen werden .

Beispiel: Drehmoment eines Verbrennungsmotors

Der bei Automobilen verwendeten Begriff maximales Drehmoment eines Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl bezeichnet das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment. Das an der Kurbelwelle bei Volllast (Vollgas) abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem bestimmten Bereich des nutzbaren Drehzahlbandes ein Maximum.

Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:

Hierbei ist Vh das Hubvolumen und pe der effektive Mitteldruck, der Faktor 2π im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges 2π verrichtet wird. Der Wert wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:

Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei 2000 U/min einen Mitteldruck von 22 Bar (2.200.000 Pa) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:

Man erkennt, dass das Drehmoment nur vom Hubraum und dem Mitteldruck abhängt und bei gegebener Maschine immer proportional dem Mitteldruck ist.

Beispiel: Zusammenhang von Drehmoment und Leistung

Die Leistung bei einer Drehbewegung ergibt sich zu

Die Winkelgeschwindigkeit ω erhält man aus der Drehzahl n gemäß . Damit ergibt sich für die Leistung

und für eine drehzahlabhängige Leistung

M(n) ist dabei eine für die Maschine typische drehzahlabhängige Kenngrösse, die im allgemeinen messtechnisch ermittelt wird.

Ein Verbrennungsmotor, der bei 2000 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von 350 Nm abgibt, gibt somit bei dieser Drehzahl auch eine Leistung von

ab.

Beispiel: Drehmoment eines Hydraulikmotors

Für die Leistung P gilt:

Damit ergibt sich für das Drehmoment

mit der Periodendauer T, welche einer Umdrehung des Motors entspricht.

Die hydraulische Leistung P errechnet sich aus Druck p1 und p2 am Motoreingang bzw. Ausgang und q des geschluckten Ölvolumens pro Umdrehung (Periode T)

Die Formel der hydraulischen Leistung eingesetzt in obige Formel ergibt das Drehmoment

Siehe auch