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Affiner Unterraum

Dieser Artikel behandelt einen Unterraum eines Vektorraums. Der Unterraum eines affinen Raums wird in affiner Raum behandelt.

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein abstrakter affiner Raum im Sinne der linearen Algebra.

Definition

Eine Teilmenge X eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor v aus V und einen Untervektorraum U von V gibt, so dass

gilt.

In diesem Fall heißt v auch Stützvektor. Die Dimension von X ist die Dimension von U.

Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt Ebene.

Eigenschaften

Da auch v = 0 gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er die Null enthält.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in n Variablen über dem Körper K ist ein affiner Unterraum von Kn. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.