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Tonnelierter Raum

Tonnelierte Räume sind spezielle lokalkonvexe Vektorräume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt. Diese Räume lassen sich durch ihre Nullumgebungsbasen charakterisieren.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Eine Tonne ist eine Teilmenge T eines lokalkonvexen K-Vektorraums E mit folgenden drei Eigenschaften

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Raum eine Nullumgebungsbasis aus Tonnen besitzt. Ist umgekehrt jede Tonne eine Nullumgebung, so nennt man den Raum tonneliert. Diese Bezeichnung geht auf Bourbaki zurück (französisch tonnelé, englisch barrelled).

Beispiele

Vererbungseigenschaften

Quotientenräume nach abgeschlossenen Teilräumen, Produkträume und induktive Limitien tonnelierter Räume sind wieder tonneliert.

Die Tonneliertheit vererbt sich im Allgemeinen nicht auf abgeschlossene Unterräume oder projektive Limiten.

Der Satz von Banach-Steinhaus

Eine Menge B in einem lokalkonvexen Raum E heißt bekanntlich beschränkt, wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d.h. zu jeder Nullumbegung U von E gibt es ein λ > 0 mit . Eine Familie stetiger linearer Operatoren zwischen lokalkonvexen Vektorräumen E und F heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jeder Nullumgebung V in F eine Nullumgebung U in E gibt, so dass für alle . Der folgende Satz kennzeichnet die tonnelierten Räume als diejenigen, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

Beziehung zur Reflexivität

Ist E ein lokalkonvexer Vektorraum, so definiert jede beschränkte Menge B in E eine Halbnorm PB auf dem Dualraum , indem man setzt. Versehen mit der Menge der Halbnormen pB, wobei B die beschränkten Mengen von E durchläuft, wird zu einem lokalkonvexen Vektorraum, den man dann mit Eb' bezeichnet. Dies verallgemeinert die Dualraumbildung bei normierten Räumen. Wie dort hat man eine natürliche Einbettung , und wie üblich identifiziert man E mit J(E), so dass E als Unterraum des Biduals (Eb')b' aufgefasst werden kann. Ist J surjektiv, so nennt man E halbreflexiv. Dann stimmen E und (Eb')b' zwar als Mengen überein, aber im Allgemeinen sind die lokalkonvexen Topologien auf E und dem Bidual (Eb')b' verschieden. Stimmen auch die Topolgien überein, so nennt man E reflexiv. Die Tonneliertheit ist genau die Eigenschaft, die einem halbreflexiven Raum zur Reflexivität fehlt, denn es gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E äquivalent:

Quasitonnelierte Räume

Man nennt eine Menge T in einem lokalkonvexen Raum bornivor, wenn sie jede beschränkte Menge absorbiert, d.h. wenn es zu jeder beschränkten Menge B ein mit gibt. (Zur Wortherkunft vergleiche carnivor oder herbivor.)

Ein Raum heißt quasitonneliert, wenn jede bornivore Tonne eine Nullumgebung ist. Offensichtlich handelt es sich um eine Abschwächung der Tonneliertheit, Bornologische Räume sind quasitonneliert.

Die Quasitonneliertheit ist bei obiger Charakterisierung der Reflexivität ausreichend, denn für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

Quellen