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Homomorphismus

Ein Homomorphismus (aus dem Griechischen, "homois": ähnlich; "morphe": Form), (nicht zu verwechseln mit einem Homöomorphismus) ist eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden. Grob gesprochen ist also ein Homomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine mathematische Definition

Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.

Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.

Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen

Seien A und B zwei Strukturen, z. B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper usw.

Im folgenden bezeichne (A, * 1, * 2,...,e1,e2,...) eine Struktur mit einer Trägermenge A sowie Verknüpfungen * i auf A mit jeweiligen neutralen Elementen ei.

Beispiele sind die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element 0 oder der Körper der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen und , wenn für alle gilt:

.

Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus f  leicht zeigen, dass

,

denn es gilt

. Also ist das neutrale Element in B.

Für alle ist das Inverse zu f(a), d.h.

,

denn es gilt

.

Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.

Ringhomomorphismus

Es seien und Ringe mit Einselement und eine Abbildung. f heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

Wenn x invertierbar ist, dann ist .

Ist ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von f

ein Ideal in R.

f ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist, d. h. nur die Null enthält.

Körperhomomorphismus und K-Homomorphismus von Vektorräumen

Homomorphismen von K-Vektorräumen, also Räumen die für die Multiplikation einen Körper K "heranziehen" müssen, sind besser bekannt als lineare Abbildungen. Sie bilden die Grundlage der linearen Algebra.

Wenn R ein Körper ist, dann sind {0} und R die einzigen Ideale in R, und damit ist ein Körperhomomorphismus immer injektiv. Ein Beispiel, das jedem geläufig sein sollte, ist die Nullpunktsgerade f(x) = a * x mit über dem Körper R.

Da jeder Körper K auch ein K-Vektorraum ist, ist die Nullpunktsgerade selbstverständlich auch linear.

Weitere Begriffe

universelle Algebra

Ein Homomorphismus f heißt:

Kategorientheorie

Ein Homomorphismus f heißt:

 Wiktionary: Homomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik