Heim

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation (benannt nach Pierre-Simon Laplace) ist eine einseitige Integraltransformation, die eine gegebene Funktion f(t) vom reellen Zeitbereich (t = Zeit) in eine Funktion F(s) im komplexen Spektralbereich (Frequenzbereich; Bildbereich) überführt.

Die Laplace-Transformation und deren Inversion sind ausgesprochen wirkungsvolle Verfahren zur Lösung vieler Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik, welche mathematisch durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. Die Laplace-Transformation gehört zur Klasse der Funktionaltransformationen, spezieller zu den Integraltransformationen, und kann als Verallgemeinerung der Fourier-Transformation aufgefasst werden. Die Laplace-Transformation bildet Originalfunktionen einer reellen Veränderlichen auf Bildfunktionen einer komplexen Veränderlichen ab. Die wichtigste Eigenschaft der Laplace-Transformation besteht darin, dass der Differentiation und Integration im reellen Originalbereich einfache algebraische Operationen im Bildbereich entsprechen. Bei vielen Anfangs- und Randwertproblemen spielt der Zeitbereich die Rolle des reellen Originalbereiches und der Frequenzbereich oder Spektralbereich diejenige des komplexen Bildbereiches.

Die Untersuchung der Bildfunktion liefert häufig wesentlich bessere physikalische Einblicke in das Verhalten linearer Systeme gegenüber Studien im Zeitbereich. Vor allem das Resonanzverhalten physikalischer Systeme kann im Frequenzbereich einfacher beschrieben werden. Gegenüber der (kontinuierlichen) Fourier-Transformation bietet die Laplace-Transformation hierbei den Vorteil, dass die Laplace-Transformierte in vielen Fällen noch existiert, wenn das Fourier-Integral bereits divergiert (bei Übertragungsfunktionen beispielsweise dann, wenn sich ein System instabil verhält).

Bei zeitdiskreten Systemen führt die Laplace-Transformation zur Z-Transformation.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Definition der Laplace-Transformation einer Funktion f lautet:

Es handelt sich um ein uneigentliches Parameterintegral mit dem Parameter s. Die Variable s nimmt nur solche Werte an, für die dieses uneigentliche Integral existiert.


Die Funktion F(s) wird auch Laplace-Transformierte der Funktion f(t) genannt. Für den Fall s = iω mit reellem ω entsteht der Sonderfall der einseitigen Fourier-Transformation:

Existenz

Gibt es reelle Konstanten M1, M2, s0 und T, so dass die Zeitfunktion f(t) den Ungleichungen

und

    für    

genügt, so existiert das Laplace-Integral in der Konvergenzhalbebene .

Beispiele für Funktionen, deren Laplace-Integral existiert, sind in den Korrespondenztabellen weiter unten aufgelistet.

Diese beiden Bedingungen sind nur hinreichend für die Existenz des Laplace-Integrals. Wenn sie nicht erfüllt werden, muss man weitere Untersuchungen anstellen.

Hierzu einige Beispiele:

Laplace-Rücktransformation

Eine universelle Methode zur Ermittlung der Zeitfunktion f(t) zu einer gegebenen Spektralfunktion F(s) stellt das Lösen des Bromwich-Integrals dar. Die Funktion f(t) ist hierbei gegeben durch

wobei s0 die Konvergenzabszisse von F ist.

Da hier über eine komplexe Variable integriert wird, muss die Rücktransformation mithilfe der Funktionentheorie durchgeführt werden. Bekannte Rücktransformationen sind in der Literatur in Korrespondenztabellen zusammengefasst. In der Praxis muss daher die Spektralfunktion meist nur auf diese tabellierten Fälle zurückgeführt werden, z.B. durch Partialbruchzerlegung.

Als Beispiel sei die Rücktransformation gebrochen rationaler Funktionen betrachtet: Für die Spektralfunktion

lässt sich mit der (tabellierten, hier exemplarisch berechneten) Korrespondenz

die Rücktransformierte direkt angeben als

Im Fall komplex konjugierter Pole sind Vereinfachungen von f(t) durch Anwendung trigonometrischer Identitäten möglich.

Wichtige Anwendungen

Allgemein bietet sich die Laplace-Transformation zur Lösung von linearen Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten an. Der Vorteil ist hierbei die Algebraisierung: Ableitungen im Bildbereich entstehen als Produkt aus Laplace-Transformierter der Originalfunktion und dem Laplace-Faktor s. Diese bewirkt, dass:

abgebildet werden. Die Lösungen der transformierten Probleme lassen sich im Bildbereich wesentlich einfacher erarbeiten als im Originalbereich. In Sonderfällen können auch lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten so gelöst werden.

Besonders effizient eignet sich die Laplace-Transformation dazu, Anfangswertprobleme zu lösen, da die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen. Man transformiert die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass das gewonnene Ergebnis ausschließlich Aussagen für den Zeitraum ab t = 0 liefert, da die Laplace-Transformierte durch die Integration ab t = 0 bestimmt wird.

Der Nachteil ist die im Allgemeinen meist komplizierte Rücktransformation.

In Maschinenbau und Elektrotechnik, speziell in der Regelungstechnik spielt die Laplace-Transformation vor allem aufgrund des Faltungssatzes eine große Rolle. Da das Verhalten des Systemausgangs sich im Spektralbereich als Produkt der Eingangsfunktion und einer dem System eigenen, von der jeweiligen Anregung unabhängigen Übertragungsfunktion darstellen lässt, lassen sich viele Systemeigenschaften durch Untersuchung der Übertragungsfunktion bestimmen (die man wiederum durch einfache Verknüpfungen elementarer Übertragungsfunktionen erhält), ohne eine explizite Lösung der System-Differentialgleichung, beispielsweise durch Rücktransformation, zu bestimmen. Elegant möglich ist dadurch beispielsweise die Stabilitätsanalyse und Analyse des Schwingungsverhaltens (Dämpfung), der Schnelligkeit sowohl von Regelstrecken als auch von geschlossenen Regelkreisen. Da die Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich für s = jω in eine Übertragsfunktion im Fourier-Bereich übergeht, lassen sich zu guter Letzt auch graphische Darstellungen des Übertragungsverhaltens, sprich Amplituden- und Phasenfrequenzgänge (Bode-Diagramme) gewinnen.

Wichtige Eigenschaften der Laplace-Transformation

Grenzwertsätze

Insbesondere strebt jede Laplace-Transformierte gegen 0, wenn gegen Unendlich strebt. Der erste Grenzwertsatz gilt nur, wenn F(s) außer einem einfachen Pol bei s = 0 keine weiteren Singularitäten in der Halbebene Re[s] >= 0 besitzt.

Eindeutigkeit der Laplace-Transformation

Wenn für zwei Zeitfunktionen f(t) und g(t) die Voraussetzungen gelten:

dann ist f(t) = g(t) überall dort, wo f und g stetig sind.

Vergleiche: Eindeutigkeitssatz von Lerch

Siehe auch: Fourier-Transformation, Faltung

Analytische Eigenschaften

Analytizität

Die Laplace-Transformierte ist infolge der Existenz ihrer Ableitungen nach der komplexen Frequenz s im Bildbereich

im Innern der Konvergenzhalbebene beliebig oft komplex differenzierbar, das heißt analytisch (regulär, holomorph). Somit kann F(s) mit den Mitteln der Funktionentheorie untersucht werden. Die Funktion F(s) kann in die linke Halbebene analytisch fortsetzbar sein, aber nicht zwingend. Eine solche analytische Fortsetzung lässt sich dann aber nicht mehr als Laplacetransformierte anschreiben.

Konjugierte Symmetrie

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Laplace-Transformierten reeller Zeitfunktionen ist die konjugierte Symmetrie im komplexen Bildbereich

oder separiert in Real- und Imaginärteil

wobei der Überstrich die komplex konjugierte Größe kennzeichnet. Aufgrund dieser Eigenschaft genügt es, die Bildfunktion in der oberen Halbebene zu studieren.

Endliche Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation bildet eine endliche Zeitfunktion

f(t) = 0 für

auf eine ganze Funktion ab. Dies bedeutet, dass die Bildfunktion

in der ganzen komplexen Frequenzebene analytisch ist, also keine Singularitäten besitzt.

Physikalische Dimension

Bei Anwendungen der Laplace-Transformation ist auch die Dimension der Laplace-Transformierten

von Interesse. Die komplexe Frequenz besitzt die Dimension s − 1. Der Ausdruck e st im Integranden ist somit dimensionslos. Durch die Integration über den Zeitbereich wird die Dimension der Zeitfunktion f(t) mit der Dimension des Zeitdifferentials dt multipliziert:

[F(s)] = [f(t)][t] = [f(t)]s.

Beispielsweise besitzt die Laplace-Transformierte eines Stroms

die Dimension einer Ladung As = C.

Historische Notizen

Die ersten Hinweise auf die Idee der Laplace-Transformation finden sich bereits in den Arbeiten des Basler Mathematikers und Physikers Leonhard Euler (1707-1783, Institutiones calculi integrali, vol. 2, 1768). Benannt wird die Laplace-Transformation nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre-Simon Laplace (1749-1827), der die Transformation 1782 im Rahmen von Wahrscheinlichkeitsstudien einführte. Ungefähr hundert Jahre später wandte der britische Elektroingenieur und Physiker Oliver Heaviside (1850-1925) die von ihm durch Probieren gefundene Operatorenrechnung zur Lösung von Differentialgleichungen in der theoretischen Elektrotechnik an. Der deutsche Mathematiker Gustav Doetsch (1892-1977) ersetzte diese durch die Laplace-Transformation, erarbeitete deren mathematische Grundlagen und führte die Laplace-Transformation einer breiten Anwendung zur Lösung vieler Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik zu, welche durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. In neuester Zeit finden sich Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation häufig in Lehrbüchern der theoretischen Elektrotechnik und vor allem in Büchern über gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Eigentlich sollte die Laplace-Transformation "Petzval-Transformation" heißen. Der ungarische Mathematiker Józeph Miksa Petzval (1807-1891) war der erste, der sie systematisch untersuchte, wohingegen Laplace sie nur zur Lösung seiner Probleme anwandte. Jedoch fand das Werk von Petzval keine Beachtung, unter anderem, weil ihn einer seiner Studenten zu Unrecht des Plagiats an Laplace bezichtigt hatte.

Eine rein algebraische Begründung und Erweiterung der Operatorenrechnung von Heaviside führte der polnische Mathematiker Jan Mikusinski (1913-1987) durch, ohne die Laplace-Transformation zu benutzen. Diese Erweiterung erfasst auch Funktionen, die keine Laplace-Transformierte besitzen, und liefert beispielsweise eine einfache exakte Begründung für die Deltafunktion ohne Heranziehung von Distributionen.

Korrespondenztabellen

Allgemeine Eigenschaften

Allgemeine Eigenschaft
bzw. Operation
Originalfunktion
Bildfunktion
Linearität
Ähnlichkeitssatz
Verschiebung im Originalbereich
Verschiebung im Bildbereich
Sinus-Multiplikation
Cosinus-Multiplikation
1. Ableitung im Originalbereich
2. Ableitung im Originalbereich
nte Ableitung im Originalbereich
1. Ableitung im Bildbereich
2. Ableitung im Bildbereich
nte Ableitung im Bildbereich
Integration im Originalbereich
Integration im Bildbereich
Faltung im Originalbereich
Multiplikation im Bildbereich
Multiplikation im Originalbereich
Faltung im Bildbereich
Periodische Funktion

Korrespondenztabelle

Funktionsname Originalfunktion
Bildfunktion
Konvergenz-
bereich
Dirac’sche Deltafunktion
Einheitsimpuls




Heaviside’sche Sprungfunktion
Einheitssprung
Exponentialfunktion
Exponentialverteilung
1-te Potenz
n-te Potenz
Potenzreihe
Gedämpfte Potenzfunktion
(s + a) n
n-te Wurzel
Sinus
Cosinus
Sinus hyperbolicus
Cosinus hyperbolicus
Logarithmus naturalis
Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung 0
Modifizierte Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung 0
Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung n

Modifizierte Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung n

Laguerre-Polynome
der Ordnung n

Beispiele

Beispiel: Lösung des Anfangswertproblems einer gewöhnlichen Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Zu lösen sei folgende Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation

mit f(0) = f0. Unter Ausnutzung der Linearität der Laplace-Transformation und des Verhaltens bei Ableitung im Ursprungsbereich (s. Tabelle der allgemeinen Eigenschaften) ist die Transformierte gegeben durch

mit . Die Rücktransformation in den Ursprungsbereich ist in obiger Korrespondenztabelle aufgeführt (s. Exponentialfunktion),

Obige Differenzialgleichung beschreibt also einfache Wachstums- und Abnahmeprozesse und findet sich demnach in vielen Bereichen, u.a. in Natur-, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften.

Literatur