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Partielle Ableitung

In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums , und eine Funktion. Sei weiterhin ein Element in U gegeben. Falls für die natürliche Zahl i mit der folgende Grenzwert existiert:

dann nennt man ihn die partielle Ableitung von f nach der i-ten Variablen xi im Punkt a. Die Funktion f heißt dann im Punkt a partiell differenzierbar. Das Symbol wird als "d" oder zur Unterscheidung auch del ausgesprochen.

Die partielle Ableitung nach xi ist selbst wieder eine Funktion von U nach , falls f in ganz U nach xi partiell differenzierbar ist.

Den Vektor

nennt man den Gradienten von f. Das Symbol wird Nabla genannt. Als abkürzende Schreibweise ist auch oft oder zu finden.

Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit

Verwendung

Partielle Ableitungen ermöglichen die Berechnung einer Lösung für Probleme, die von mehreren Parametern abhängen.

Das Bestimmen der optimalen Lösung ist ein Extremwertproblem. Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung).

Die Verallgemeinerung des Differentialquotienten auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

In der Differentialgeometrie benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines totalen Differentials. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der Thermodynamik.

Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der Vektoranalysis. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und der Rotation in Skalar- und Vektorfeldern.

Beispiele

Beispiel 1

Als Beispiel wird die Funktion mit f(x,y): = x2 + y2 betrachtet, die von den beiden Variablen x und y abhängt.

Betrachtet man y als eine Konstante, z. B. y = 3, so hängt die Funktion mit g(x) = f(x,3) nur noch von der Variablen x ab:

f(x,3) = x2 + 9

Für die neue Funktion gilt folglich g(x) = x2 + 9 und man kann den Differenzialquotienten bilden

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion f nach x bildet:

Die partielle Ableitung von f nach y lautet entsprechend:

Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt:

Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.

Beispiel 2

Das folgende Beispiel gibt eine geometrische Deutung der partiellen Ableitung:

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Graph der Funktion mit betrachtet. Der Definitionsbereich ist die Kreisscheibe B1(0,0) mit Radius 1 in der x,y-Ebene mit dem Mittelpunkt (0,0).

Die Funktion f projiziert diesen Kreis auf die Oberfläche einer Halbkugel vom Radius 1 (die "obere Halbkugel"). Der Pol dieser Halbkugel ist ein Extremwert von f (ein Maximum). Für einen festen Wert von x ist dann f eine Funktion in y. Bei festem x ergeben die Punkte so dass eine Strecke parallel zur y-Achse. Diese Strecke wird von f auf eine gekrümmte Linie auf der Oberfläche der Halbkugel projiziert.

Die partielle Ableitung von f nach y bestimmt unter diesen Voraussetzungen die Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt f(x,y). Für jeden Parameter einer Funktion f kann man partielle Ableitungen bestimmen.

Literatur