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Klothoide

Die Klothoide, auch Klotoide (v. griechisch κλώθω „spinnen“), ist eine spezielle ebene Kurve. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale (nach Marie Alfred Cornu) und Spinnkurve (da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die „umgesponnen“ wird).

Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer ruckfreien Fahrdynamik.

Pionier ihrer Untersuchung war der französische Physiker Alfred Cornu im Jahr 1874. 1937 fand sie durch L. Oerley erstmals Eingang in die Straßenplanung und wurde 1954 mit einem umfassenden Tafelwerk (Kasper, Schürba, Lorenz) für Trassierungs- und Absteckungsarbeiten in der Baupraxis allgemein zugänglich gemacht.

In diesem Tafelwerk wird durchgängig Klotoide (ohne h) geschrieben. Auch die alten Ausgaben des „Taschenbuch der Mathematik“ (Bronstein, Semendjajew) bevorzugen diese Schreibweise. Diese Standardwerke sorgten wahrscheinlich dafür, dass die abweichende Schreibweise bis in die heutige Zeit besteht, laut Duden wird jedoch Klothoide geschrieben.

In den heutigen Trassierungs- und CAD-Programmen ist die numerische Berechnung von Klothoiden in der Programmbibliothek integriert und erfolgt automatisch.

Inhaltsverzeichnis

Klothoidengleichung

Der Krümmungsradius dieser Kurve ist umgekehrt proportional zur Länge des Bogens:

wobei r der Krümmungsradius, l die Länge des Bogens und a eine Konstante ist.

Die Gleichung der Klothoide lautet in Parameterform:

wobei l die Länge der Kurve von bis ist.

Einheitsklothoide

Die Einheitsklothoide ist eine Klothoide mit dem Parameter A = 1. Die Grundgleichung A2 = R * L zeigt, dass der Parameter A eine kennzeichnende Größe ist und der Seitenlänge des Quadrates entspricht, das flächengleich mit dem Rechteck aus dem Produkt R * L in jedem beliebigen Punkt der Klothoide ist. Die Einheitsklothoide wurde benutzt, um Tafeln für die Berechnung von Punkten auf der Klothoide aufzustellen, analog den Tafelwerken für Winkelfunktionen, denen der Einheitskreis mit R = 1 zugrunde liegt. Die dort entnommenen Werte werden mit dem gegebenen Parameter A multipliziert, da alle Klothoiden einander ähnlich sind und proportional vergrößert oder verkleinert werden können.

Bekannte, häufig benutzte Tabellenwerke waren:

Bezeichnungen gem. Kasper, Schürba, Lorenz:

Parameter der Klothoide
Radius im Endpunkt
Länge
Schnittwinkel der Tangenten im Anfangs- und Endpunkt im Bogenmaß

Die Tabellenwerte X und Y beziehen sich auf die Tangente im Ursprung (Wendepunkt) der Klothoide (0/0) mit dem Radius gleich Unendlich. Die X-Koordinate ist der Abschnitt auf dieser Tangente, die Y-Koordinate der orthogonale Abstand des Klothoidenpunktes von der Tangente. Eingangswert ist L / A.

Um Klothoidenberechnungen mit mechanischen Rechenmaschinen zu vereinfachen, die nur die vier Grundrechenarten ermöglichten, wurden zusätzlich Spezialtafeln für häufig vorkommende Aufgaben beigefügt, um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten.

Moderne Berechnungsverfahren

Heute sind für Klothoidenberechnungen weder Tafeln noch Näherungslösungen erforderlich. Für eine programmgesteuerte Berechnung sind Klothoiden besonders gut geeignet, da die Formeln einfach sind, wenig Programmieraufwand erfordern und ein sehr gutes Laufzeitverhalten haben. Wegen der sehr häufigen Verwendung der Klothoide bei der Trassierung von Verkehrswegen wird der Berechnungsablauf hierfür als Beispiel herangezogen.

Grundgleichungen:

Für die Koordinaten X und Y auf der Ursprungstangente gelten folgende Reihenentwicklungen:

Für den im Bereich von Trassierungsberechnungen genutzten Klothoidenabschnitt ( ≤ AR) ist der Wert T maximal 0.5. Um auch für seltene Sonderfälle gewappnet zu sein, sollte das Programm T-Werte bis π (3.14159) zulassen, damit der gleiche Drehwinkel (180°) wie in einem Halbkreis abgedeckt ist. Die Reihenglieder für X und Y konvergieren schon nach wenigen Schritten gegen Null. Weil die Fakultätsfunktion im Nenner steht, wächst dessen Wert schnell. Bei T < 1 nimmt der Wert des Zählers ab und beschleunigt zusätzlich die Berechnung. Die Genauigkeit der Berechnung lässt sich über einen Grenzwert, der zum Abbruch der Berechnung führt, steuern. Üblich ist eine Genauigkeit, die fünf gültige Nachkommastellen hat, wenn mit 8 Byte Datenbreite (double precision) gerechnet wird. Für Graphikausgaben genügt eine Genauigkeit, die dem halben Pixeldurchmesser des Ausgabegerätes, multipliziert mit dem reziproken Maßstabsfaktor, entspricht (Begründung: siehe Bresenham-Algorithmus).

Um die lokalen Koordinaten X und Y in das übergeordnete Bezugssystem zu überführen, ist abschließend eine einfache Transformation, z.B. über bereits bekannte Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes im Bezugssystem erforderlich. Die Berechnung von Klothoidenpunkten ist beim Einsatz von Computern heute genau so einfach, wie bei Punkten auf den Trassierungselementen Gerade und Kreisbogen.

Anwendung in der Optik

Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals. Beispielsweise beschreiben die Fresnelschen Integrale S(x) und C(x) die Intensität der Lichtverteilung hinter einer beleuchteten Kante:

.

Zusammen bilden sie die Parameterdarstellung der Klothoide.

, da S'(t)2 + C'(t)2 = sin(t2)2 + cos(t2)2 = 1
Die Länge ist unbeschränkt.

Anwendung im Verkehrswegebau

Im Verkehrswegebau wird bei der Berechnung der Linienführung einer Verkehrsachse die Klothoide als Übergangselement zwischen Elementen mit konstanter, aber unterschiedlicher Krümmung eingesetzt. Jeder Verkehrsteilnehmer fährt im täglichen Verkehr mit dem Auto oder der Bahn auf Straßen- und Bahnstrecken, die in Teilbereichen aus Klothoidenabschnitten bestehen.

Klothoide als Trassierungselement

Zur Bemessung der Trassierungselemente bei einer fahrdynamischen Trassierung von Verkehrswegen dient die Entwurfsgeschwindigkeit, aus der sich Mindestradien bzw. bei Klothoiden Mindestparameter ergeben. Die Entwurfsgeschwindigkeit ist unter anderem von der Bedeutung eines Verkehrsweges abhängig, also bei Fernverbindungen hoch und bei regionalen Verbindungen niedriger. Eine niedrige Entwurfsgeschwindigkeit erlaubt eine Trassenführung, die sich besser an die topographischen Verhältnisse anpassen lässt. Auch das Verkehrsaufkommen muss berücksichtigt werden. Innerörtlich Straßen werden dagegen in der Regel nicht fahrdynamisch trassiert, bzw. mit einer niedrigen Entwurfsgeschwindigkeit geplant.

Eine Trasse setzt sich einerseits aus Trassierungselementen mit konstanter Krümmung wie Geraden und Kreisbögen, andererseits aus Klothoiden als Übergangsbögen mit zu- und abnehmender Krümmung zusammen. Die Krümmung wächst bzw. fällt linear mit der Länge L auf der Klothoide.

Für die Verwendung der Klothoide als Übergang zwischen Elementen mit konstanter Krümmung im Straßenbau spricht:

Bei Bahntrassen haben Übergangsbögen die gleichen Vorteile. Schienengebundene Fahrzeuge werden unter Zwang gesteuert und haben keine Toleranz in Querrichtung. Ein Krümmungswechsel ohne Übergangsbogen erzeugt in diesem Fall eine Querbeschleunigung, die sehr schnell als unangenehm empfunden wird. Erschwerend kommt hinzu, dass ein abrupter Krümmungswechsel erhöhten Verschleiß an den Schienen und den Radsätzen verursacht. Es gibt jedoch geringfügige Abweichungen gegenüber der Ausführung im Straßenbau:

Bei Achterbahnen, ebenfalls schienengebundene Fahrzeuge, werden Klothoiden eingesetzt, um die Passagiere nicht durch starke Querbeschleunigungen zu belasten. Im Fall der Achterbahn ist die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt der Trasse mit geringen Abweichungen bekannt; somit können die einwirkenden Querkräfte durch eine angepasste Überhöhung der Kurven fast ganz eliminiert werden.

Berechnung einer Achse mit Klothoiden als Übergangselemente

Um die Lage der Achse eines Verkehrsweges zu definieren, wird zweistufig gearbeitet:

Die Bestimmung der Lage einer Klothoide als Achselement im Bezugskoordinatensystem erfolgt während der Achshauptpunktberechnung. Bei Klothoiden sind Randbedingungen zu beachten. Der einfachste Fall, die Elementfolge Gerade – Klothoide – Kreisbogen – Klothoide – Gerade soll hierzu als Beispiel dienen:


Abstand vom Ursprung der Klotoiden
orthogonaler Abstand von der Ursprungstangente
Abrueckung von der Ursprungstangente


Im Falle von Übergängen zwischen zwei Kreisbögen wird D über die Berechnung des Abstandes der beiden Kreismittelpunkte ermittelt, wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind:

Werden bei der Berechnung der Grundelemente Gerade und Kreisbogen die Abstände D in Abhängigkeit von den Klothoidenparametern berücksichtigt, lassen sich die Klothoiden anschließend über einfache Transformationen passgenau einfügen.

Bei Klothoiden muss jedoch berücksichtigt werden, dass sie bei Achsverschiebungen nicht parallel versetzt werden können, wie das bei Geraden und Kreisbögen jederzeit möglich ist. Eine Parameteränderung erzeugt keine Linie, die den Bedingungen der Parallelität streng entspricht. Allerdings sind die Abweichungen bei kurzen Klothoidenabschnitten, wie sie bei der Trassierung vorwiegend verwendet werden, regelmäßig so klein, dass der Fehlbetrag im Rahmen der Bautoleranz liegt. Dies muss jedoch immer rechnerisch überprüft und gegebenenfalls durch eine Hilfskonstruktion behoben werden.

Zeichnerische Darstellung einer Achse

Lageplan und Höhenplan sind die wichtigsten Planunterlagen, um eine Trasse darzustellen. Da auch der Krümmungsverlauf für viele planerische Entscheidungen sehr wichtig ist, wird er im Höhenplan unterhalb der Höhendarstellung in einem eigenen Band eingefügt.

Die waagrechte Achse des Krümmungsbandes entspricht wie bei der Höhendarstellung (Gradiente) der Achslänge. Gemäß ihrer Station (s. o.) werden auf dieser Achse die Elemente aufgetragen. Die Krümmung einer Geraden ist Null und liegt auf der Achse. Kreisbögen haben eine konstante Krümmung , ihre Krümmungslinie liegt bei Rechtsbögen (positiver Radius) oberhalb und bei Linksbögen (negativer Radius) unterhalb der Achse. Je nach Platz auf dem Plan und der Größe der Radien wird die Krümmung der Achselemente mit einem konstanten Faktor multipliziert, der so gewählt wird, dass sich eine übersichtliche Darstellung ergibt. Die Krümmungslinie wird in dem so ermittelten Abstand zur Achse gezeichnet. Klothoiden, deren Krümmung mit der Länge des Elementes linear zu- oder abnimmt, bilden im Krümmungsband die schrägen Rampen zwischen den Elementen Gerade und Kreisbogen.

Aus dem Krümmungsband kann man die „Kurvigkeit“ erkennen, also den Krümmungsverlauf im Zuge einer Achse. Parallel und unterhalb des Krümmungsbandes wird die Querneigung der Fahrbahn als Querneigungsband dargestellt. Die Querneigung, die wegen der Querbeschleunigung vom Radius eines Elementes abhängig ist, lässt sich auf diese Weise übersichtlich planen und darstellen. Querneigungswechsel liegen regelmäßig innerhalb der Klothoidenabschnitte, sie müssen jedoch unter entwässerungstechnischen Aspekten auch sehr genau mit der Gradiente abgestimmt werden, damit eine funktionierende Entwässerung der Fahrbahn gewährleistet ist.

Literatur

 Wiktionary: Klothoide – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik