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Abgeschlossenheit

Dieser Artikel behandelt den Begriff aus der Mathematik. Zum physikalischen Begriff der Abgeschlossenheit, siehe unter Abgeschlossenes System. Zur Abgeschlossenheit einer Wohneinheit siehe Abgeschlossenheit (Bauwesen)

In der Mathematik tritt der Begriff Abgeschlossenheit in mehreren Bedeutungen auf, die alle in etwa besagen, dass das betreffende Objekt mit den jeweils betrachteten Mitteln nicht erweitert werden kann. Eine Abstraktion dieser Erweiterungsprozesse ist der Begriff des Hüllenoperators.

Abgeschlossene Menge

Ist M eine Teilmenge eines topologischen Raums A, dann heißt M abgeschlossen, wenn ihr Komplement A\M eine offene Menge in A ist.

Für einen metrischen Raum ist folgende Bedingung äquivalent:

Eine Teilmenge M eines metrischen Raums A ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt.

D. h. ist konvergent in A, dann ist

Abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung

Ist eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, dann heißt das: ist eine Funktion . Gilt nun , dann heißt M abgeschlossen bezüglich , wenn in M liegt für alle , wenn also auch eine innere zweistellige Verknüpfung auf M ist.

Hat man Strukturen mit mehreren Verknüpfungen, dann hat man auch einen Begriff der Abgeschlossenheit bezüglich all dieser Verknüpfungen.

Beispiele:

Die Wichtigkeit der Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung lässt sich am besten verstehen, wenn man Beispiele betrachtet, in denen sie verletzt ist.

Die Eigenschaft, dass die zweistellige Verknüpfung stets eindeutig bestimmte Werte in A liefert, bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung.

Deduktive Abgeschlossenheit

In der klassischen Logik bezeichnet man eine Menge F logischer Formeln als deduktiv abgeschlossen, wenn die Menge aller Formeln, die aus einer der Formeln von F logisch folgen, gerade die Menge F ergeben, d. h. Cn(F) = F wobei Cn die so genannte Inferenzoperation ist, d. h. diejenige Operation, die eine Formelmenge F auf die Menge von Formeln abbildet, die logisch aus F folgt.