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Spezielle orthogonale Gruppe

Die spezielle orthogonale Gruppe ist die Gruppe aller orthogonalen -Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper F mit Determinante Eins:

Hierbei ist mit die Determinante und mit En die Einheitsmatrix gemeint. Wenn aus dem Kontext klar ist, welcher Körper F ist, schreibt man auch . Die Gruppe ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Inhaltsverzeichnis

Die SO als Untergruppe

Die spezielle orthogonale Gruppe ist Untergruppe

Wenn F die Charakteristik 2 hat, fallen und zusammen.

Reelle spezielle orthogonale Gruppen

Die spezielle orthogonale Gruppe über dem Körper der reellen Zahlen beschreiben Drehungen im Euklidischen Raum . Daher bezeichnet man die Gruppe auch als Drehgruppe. bildet eine reelle kompakte zusammenhängende Lie-Gruppe der Dimension . Die Lie-Algebra der besteht aus dem Raum der schiefsymmetrischen reellen Matrizen.

Reelle orthogonale Gruppe SO(2)

Sei die schiefsymmetrische Matrix

mit den Eigenwerten gegeben. Dann beschreibt der Endomorphismus A2 eine Multiplikation mit in den komplexen Zahlen . Außerdem beschreibt

gerade die Rotation um den Winkel .

ist daher isomorph zum Einheitskreis in der Ebene der komplexen Zahlen mit der komplexen Multiplikation als Verknüpfung.

Reelle orthogonale Gruppe SO(3)

Sei die schiefsymmetrische Matrix

mit gegeben. Dann ist und für die Matrizen A3 und exp(A3) gelten folgende Ähnlichkeiten

Hierbei wurde eine Orthonormalbasis gewählt, bei der der erste Vektor gerade ist. exp(A3) beschreibt also eine Drehung des Winkels α um die Drehachse .

ist lokal, aber nicht global isomorph zur speziellen unitären Gruppe , ablesbar an isomorphen Lie-Algebren. Zu den verschiedenen Parametrisierungen der siehe Eulersche Winkel.

Vektorfelder von gleichmäßigen reellen Rotationen

Jede Rotation im lässt sich mit Hilfe einer schiefsymmetrischen Matrix als Funktion c(t,x) = exp(An)tx beschreiben. Hierbei ist t der Zeitpunkt und x der Ausgangsort der Bewegung.

Wegen bedeutet das also

Als entsprechendes Vektorfeld erhält man dann

Vektorfelder von gleichmäßigen Rotationen lassen sich also gerade durch schiefsymmetrische Matrizen darstellen.