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Topologischer Raum

topologischer Raum

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

erfüllen

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und „Streben gegen“ aus dem Anschauungsraum auf sehr viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen und mit präziser Bedeutung versehen. Dieser Artikel enthält grundlegende Konzepte und Begriffe, für weiteres siehe Topologie-Glossar.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen („offene Mengen“ genannt) einer Grundmenge X, für die die folgenden Axiome erfüllt sind:

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt topologischer Raum (X,T).

Grundbegriffe

Sprechweise: Elemente sind Punkte, die Menge ist ein Raum

Aus dem Anschauungsraum hat sich die Bezeichnung „Punkt“ für die Elemente der Grundmenge und die Bezeichnung „(topologischer) Raum“ für die Menge X, die die topologische Struktur trägt, durchgesetzt. Formal korrekt ist ein topologischer Raum aber das Paar (X,T) aus der strukturtragenden Menge X und dem strukturdefinierenden System T (der „Topologie“) von Teilmengen.

Dual: abgeschlossen

Eine Teilmenge des topologischen Raums X, deren Komplement eine offene Menge ist, heißt abgeschlossen. Wenn man die oben formulierte Definition dualisiert und das Wort „offen“ durch „abgeschlossen“ ersetzt (sowie Schnitt und Vereinigung vertauscht), ergibt sich eine gleichwertige Definition des Begriffs „topologischer Raum“ über dessen System abgeschlossener Mengen.

Nachbarschaft: Umgebungen

In einem topologischen Raum hat jeder Punkt x einen Filter U(x) von Umgebungen. Damit lässt sich der intuitive Begriff von „Nähe“ mathematisch fassen. Auch dieser Begriff kann einer Definition des Topologischen Raums zugrunde gelegt werden.

Vergleich von Topologien: gröber und feiner

Auf einer festen Menge X kann man zwei Topologien T und S miteinander vergleichen: Man nennt eine Topologie T „feiner“ als eine Topologie S, wenn ist, wenn also jede in S offene Menge auch in T offen ist. S heißt dann „gröber“ als T. Sind die beiden Topologien verschieden, sagt man auch T ist „echt feiner“ als S und S ist „echt gröber“ als T.

Diese Sprechweise ist kompatibel mit der „feiner“-Ordnung der Umgebungssysteme als Filter: Ist x ein fester Punkt des Raums, dann ist der von der feineren Topologie T erzeugte Umgebungsfilter V(x) feiner als der von der gröberen Topologie S erzeugte U(x).

Morphismen: Stetige Abbildungen

Wie bei jeder Mathematischen Struktur gibt es auch bei den topologischen Räumen strukturerhaltende Abbildungen (Morphismen). Hier sind es die stetigen Abbildungen: Eine Abbildung ist (global) stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge O von Y eine offene Menge in X ist, formal: .

Die Isomorphismen heißen hier Homöomorphismen, dies sind stetige Abbildungen, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Strukturell gleichartige (isomorphe) topologische Räume nennt man homöomorph.

Für weitere Begriffe sieheTopologie-Glossar.

Beispiele

Erzeugung topologischer Räume

Literatur

Siehe auch